Правоъгълен триъгълник и косиносова теорема

[konstantin1010]

Имам проблем с една задача и ще съм много благодарен ако ми помогнете да я реша
Катетите AC и BC на правоъгълен ABC са 4см и 3см. Точка P лежи вътре в триъгълника, като AP+BC=BP+CA=CP+AB. Да се намерят разстоянията от P до върховете на ABC

Благодаря много предварително !

[ptj]

[tex]x+3=y+4=z+5\Leftrightarrow x=y+1=z+2[/tex]

Сега използвай, че сумата от лицата на трите малки триъгълника е равна на лицето на големия (чрез 3 Херонови формули само с едно неизвесто).

[Евва]

(2 начин)
[tex]\triangle[/tex]АВС-правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]АВ^{2}[/tex]=[tex]ВС^{2}[/tex]+[tex]АС^{2}[/tex] ; АВ=5 см.
АР+ВС=ВР+АС т.е. АР+3=ВР+4 [tex]\Leftrightarrow[/tex] АР=ВР+1 (1)
ВР+АС=СР+АВ т.е. ВР+4=СР+5 [tex]\Leftrightarrow[/tex] ВР=СР+1 (2) ( зам. (2) в (1) и намираме АР=СР+2)
Означаваме СР=х , ВР=х+1 , АР=х+2
х=?
__________________________________________________________________________________

Скрит текст: покажи

Прилагаме cos. теорема в [tex]\triangle[/tex]APC и [tex]\triangle[/tex]PBC.Нека [tex]\angle[/tex]РСА=[tex]\varphi[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}( x+2)^{2} = 16+x^{2} -8х.cos\varphi\\ (x+1)^{2}=9+x^{2}-6х.cos(90^\circ -\varphi)\end{array}[/tex]

Скрит текст: покажи

Стигаме до системата:

[tex]\begin{array}{|l} cos\varphi=\frac{3-x}{2x} \\ sin\varphi=\frac{4-x}{3x} \end{array}[/tex]

[tex]sin^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]=1

Оставям на Вас удоволствието да завършите задачата .

Получих х=[tex]\frac{29}{23}[/tex]=1[tex]\frac{6}{23}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] СР=1[tex]\frac{6}{23}[/tex] см. ,ВР=2[tex]\frac{6}{23}[/tex] см. ,АР=3[tex]\frac{6}{23}[/tex] см.