Задача от вписана окръжност

[Гост]

В ABC е вписана окръжност, допираща се до AB, BC и AC съответно в точките M, D и N. Намерете MD, ако AN = 2, NC = 3 и g = 60°

[Гост]

В ABC е вписана окръжност, допираща се до AB, BC и AC съответно в точките M, D и N. Намерете MD, ако AN = 2, NC = 3 и g = 60°

И къде е този [tex]\angle g = 60 ^\circ[/tex]?!

[mail_dinko]

Ако допуснем, че това е [tex]\gamma =60^\circ[/tex]
[tex]AN=2 \Rightarrow AM=2[/tex]
[tex]NC=3 \Rightarrow CD=3[/tex]
[tex]MB=DB=x[/tex]
Прилагаме косинусова теорема, като използваме известния ъгъл
[tex]AB^2=AC^2+CB^2-2.CB.AC. cos 60^\circ \Leftrightarrow (2+x)^2=5^2+(3+x)^2-2.(3+x).5. \frac 12 \Rightarrow x=5[/tex]
[tex]DB=MB=5\Rightarrow AB=7[/tex]
[tex]\frac{AB}{sin \gamma}=\frac{AC}{sin \beta } \Leftrightarrow \frac{7}{\frac {\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{sin \beta } \Rightarrow sin \beta = \frac {5 \sqrt {3}}{14}[/tex]
[tex]cos \beta = \sqrt {1-sin^2 \beta} = \sqrt {1-\frac{75}{196}} = \frac {11}{14}[/tex]
[tex]MD= \sqrt {MB^2+BD^2-2.BD.MB.cos \beta} \Leftrightarrow MD = \sqrt {25+25-2.5.5.\frac {11}{14}}[/tex]
[tex]MD = 5 . \frac {\sqrt{3}}{\sqrt {7}}. \frac {\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac 57 \sqrt {21}[/tex]