Медиани

[Гост]

Отговорът би трябвало да е 2, 2[tex]\sqrt{3}[/tex], 4,но не ги получавам.

[S.B.]

Отговорът би трябвало да е 2, 2[tex]\sqrt{3}[/tex], 4,но не ги получавам.

Предлагам Ви да използвате формулите за изразяване на страните на триъгълника чрез трите му медиани:
$$a = \frac{2}{3} \sqrt{( m_{c } ^{2 } + m_{b } ^{2 }) - m_{a } ^{2 } }$$
$$b = \frac{2}{3} \sqrt{( m_{c } ^{2 } + m_{a } ^{2 }) - m_{b } ^{2 } } $$
$$c = \frac{2}{3} \sqrt{( m_{a } ^{2 } + m_{b } ^{2 }) - m_{c } ^{2 } } $$
Отговорите се получават такива каквито са дадени.
Други варианти има ,но те водят до системи от 3 уравнения с 3 неизвестни и съвсем не сте "застраховани" от много изчислителни грешки при решаването им.

[mail_dinko]

[tex]a = \frac{2}{3} \sqrt{2(m_{c } ^{2 } + m_{b } ^{2 }) - m_{a } ^{2 } }=2[/tex]
[tex]b = \frac{2}{3} \sqrt{2( m_{c } ^{2 } +m_{a } ^{2 }) - m_{b } ^{2 } }=4[/tex]
[tex]c = \frac{2}{3} \sqrt{2( m_{a } ^{2 } +m_{b } ^{2 }) - m_{c } ^{2 } }=2 \sqrt {3}[/tex]

Липсваше по 1 двойка през положителните едночлени в подкоренната величина

Иначе аз реших да пробвам по друг начин - чрез изразяване на косинусовата теорема
Получава се системата:
[tex]\begin{array}{|l} b^2-c^2=4 \\ b^2-a^2=12 \\ c^2-a^2 =8 \end{array}[/tex]
Която аз не можах да реша

[S.B.]

Без заглавие - 2023-03-03T192048.243.png (319.09 KiB) Прегледано 828 пъти

Ето и едно чисто геометрично решение
Нека за [tex]\triangle ABC[/tex] означим:
$AB = c, BC = a, AC = b$
[tex]AM = m_{a } = \sqrt{13} , BN = m_{b } = 2 , CP = m_{c } = \sqrt{7}[/tex]

Едно старо златно правило гласи: "Видиш ли медиана , продължи я докато стане двойна!!!"

Продължавам и удвоявам медианата [tex]AM = \sqrt{13}[/tex] до [tex]A A_{1 } = 2 \sqrt{13}[/tex] ,допълвам до успоредника [tex]AB A_{1 } C[/tex] за който прилагам свойството:
[tex]A A_{1 } ^{2 } + BC^{2 } = 2 AB^{2 } + 2 AC^{2 } \Leftrightarrow (2 \sqrt{13}) ^{2 } + a^{2 } = 2 c^{2 } + 2 b^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow 52 = 2( b^{2 } + c^{2 }) - a^{2 } $$

Продължавам и удвоявам медианата [tex]BN = 2[/tex] до [tex]B B_{1 } = 4[/tex],допълвам до успоредника [tex]ABC B_{1 }[/tex] за който прилагам свойството:
[tex]B B_{1 } ^{2 } + AC^{2 } = 2 AB^{2 } + 2 BC^{2 } \Leftrightarrow 4^{2 } + b^{2 } = 2 a^{2 } + 2 c^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow 16 = 2( a^{2 } + c^{2 }) - b^{2 } $$

Продължавам и удвоявам медианата [tex]CP = \sqrt{7}[/tex] до [tex]C C_{1 } = 2 \sqrt{7}[/tex] допълвам до успоредника [tex]C_{1 }BCA[/tex], за който прилагам свойството:
[tex]C C_{1 } ^{2 } + AB^{2 } = 2 AC^{2 } + 2 CB^{2 } \Leftrightarrow (2 \sqrt{7}) ^{2 } + c^{2 } = 2 b^{2 } + 2 a^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow 28 = 2( a^{2 } + b^{2 } ) - c^{2 } $$
Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} 52 = 2( b^{2 }+ c^{2 }) - a^{2 } \\ 16 = 2( a^{2 }+ c^{2 }) - b^{2 }\\28 = 2( a^{2 } + b^{2 }) - c^{2 } \end{array}[/tex]
Събирам почленно трите уравнения и получавам:
[tex]96 = 4( a^{2 } + b^{2 } + c^{2 }) - ( a^{2 } + b^{2 }+ c^{2 } ) \Leftrightarrow 96 = 3( a^{2 } + b^{2 } + c^{2 })[/tex]
$$\Rightarrow a^{2 } + b^{2 } + c^{2 } = 32$$

[tex]\begin{array}{|l} a^{2 }+ b^{2 } + c^{2 } = 32 \\ 52 = 2( b^{2 } + c^{2 }) - a^{2 } \end{array} \Leftrightarrow 52 = 2(32 - a^{2 }) - a^{2 } \Leftrightarrow 52 = 64 - 3 a^{2 } \Rightarrow a^{2 } = 4[/tex]
$$a = 2$$

[tex]\begin{array}{|l} a^{2 } + b^{2 } + c^{2 } = 32 \\ 16 = 2( a^{2 } + c^{2 }) - b^{2 } \end{array} \Leftrightarrow 16 = 2(32 - b^{2 }) - b^{2 } \Leftrightarrow 16 = 64 - 3 b^{2 } \Rightarrow b^{2 } = 16[/tex]
$$b = 4$$

[tex]\begin{array}{|l} a^{2 } + b^{2 } + c^{2 } = 32 \\ 28 = 2( a^{2 } + b^{2 } ) - c^{2 } \end{array} \Leftrightarrow 28 = 2(32 - c^{2 }) - c^{2 } \Leftrightarrow 28 = 64 - 3 c^{2 } \Rightarrow c^{2 } = 12[/tex]
$$c = 2 \sqrt{3} $$