9 клас-Питагорова теорема

[Гост]

Здравейте, може ли да ми помогнете със следните задачи:
1 зад.В правоъгълен трапец АВСД с основи АВ и CD и бедро AD, перпендикулярно на основите, е известно, че АВ = b, CD = b1, и BC= b + b1
а) Намерете лицето на трапеца.
б) Ако М е среда на AD, да се докаже, че [tex]\triangle[/tex]ВМС е правогъгълен.
2 зад.В равнобедрен трапец АВСD диагоналът АС е перпендикулярен на бедрото ВС. Намерете дължината на малката основа CD, ако АВ =4 и
AD^2+ DC^2= 11.
3 зад.В равнобедрения трапец ABCD е вписана окръжност с радиус r, а около него е описана окръжност с радиус R и център, лежащ на основата АВ на трапеца. Намерете отношението R: r.

Предварително Ви благодаря!

[Евва]

2 зад. ABCD -равнобедрен трапец ( AB||CD)
Да означим с CH височината на трапеца и BC=y .
CD=x=?
Намираме BH=[tex]\frac{AB-CD}{2} = \frac{4-x}{2}[/tex]
За правоъг.[tex]\triangle[/tex]ABC прилагаме формулата [tex]a^{2 } =c a_{1 }[/tex]
Според чертежа ни [tex]BC^{2 } =AB.BH[/tex] т.е. [tex]y^{2 } =4. \frac{4-x}{2}[/tex]

[tex]y^{2 }[/tex]=8-2x ; дадено е [tex]y^{2 } =11- x^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
Получихме кв.ур-е 8-2x=11-[tex]x^{2 }[/tex] с един положителен корен x=CD=3

[Евва]

Нека AB||CD ,DH е височина на трапеца ,AB=2R и CD=2b .
[tex]\frac{R}{r}[/tex]=x =?
Според условието AB е диаметър [tex]\Rightarrow[/tex] вписаният [tex]\angle[/tex]ADB=90[tex]^\circ[/tex]
Доказахме ,че [tex]\triangle[/tex]ABD е правоъгълен с хипотенуза AB=2R
За него е в сила [tex]DH^{2 }[/tex]=AH.BH т.е. 4[tex]r^{2 }[/tex]=(R-b)(R+b) ; [tex]4r^{2 }= R^{2 }- b^{2 }[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]AHD -Питагор ) [tex]HD^{2 } + AH^{2 } = AD^{2 }[/tex]

Скрит текст: покажи

В ABCD е вписана окр. следователно AB+CD=AD+BC ; 2R+2b=2AD ;AD=R+b

[tex]4r^{2 }+ (R-b)^{2 } = (R+b)^{2 }[/tex]
... ... ...
b=[tex]\frac{ r^{2 } }{R}[/tex] (2) [ заместваме (2) в (1)] [tex]4r^{2 }= R^{2 } - \frac{ r^{4 } }{ R^{2 } }[/tex] |.[tex]R^{2 } \ne0[/tex]

4[tex]r^{2 } R^{2 }= R^{4 } - r^{4 }[/tex] ; [tex]R^{4 } -4r^{2 } R^{2 }- r^{4 }[/tex]=0
Делим на [tex]r^{4 } \ne0[/tex]
[tex]x^{4 } -4 x^{2 }-1=0[/tex] Остава да решите биквадратното ур-е ,аз получих [tex]\frac{R}{r} =x= \sqrt{2+ \sqrt{5} }[/tex]