Максимум

[Saposto_MM]

Нека равностранния триъгълник ABC има дължина на страната - a, и М е точка от страната му AB. Да се намери най-голямата възможна стойност на [tex]AM\cdot BM\cdot CM[/tex].

[martosss]

Означаваме си АМ=х, тогава ВМ=а-х, от Косинусовата теорема изразяваме [tex]CM=\sqrt{x^2-ax+a^2}[/tex]
Сега [tex]x\in \left[0\: ;\: a][/tex].
[tex]f(x)=x(a-x)\sqrt{x^2-ax+a^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{(2x-a)(3x^2-3ax+2a^2)}{2\sqrt{x^2-ax+a^2}}[/tex]. Производната се нулира при [tex]x=\frac{a}{2}[/tex]. Проверяваме за тази стойност и получаваме, че за нея имаме максимум - търсеното произведение е [tex]\frac{a^3\sqrt 3}{8}[/tex].