Интересна задача

[Mr.G{}{}Fy]

Даден е триъгълник ABC със страни [tex]BC=4,AB=2\sqrt{19}[/tex].Центърът на окръжността,минаваща през средите на страните на ABC ,лежи на ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex].Намерете AC

[ganka simeonova]

[tex]L,M, N[/tex] са средите на страните (виж чертежа) и нека [tex]\angle C=\gamma[/tex]
ПОстрояваме симетралите на [tex]LN[/tex]и [tex]ML[/tex], които пресичат [tex]AC[/tex]и [tex]CB[/tex] съответно в точки [tex]P[/tex]и[tex]Q[/tex].
[tex]\angle MLN=\gamma =>\angle MON=2\gamma ; \angle POQ=180^\circ -\gamma[/tex]
Понеже СО е ъглополовяща=>[tex]OP=OQ[/tex],но [tex]OM=ON-[/tex]-радиуси=>[tex]\angle MOP=\angle NOQ=x[/tex]
=>[tex]\angle MOP+\angle PON=\angle MON =>x+180^\circ -\gamma -x=2\gamma=>\gamma =60^\circ[/tex]

После по кос. т-ма за АВС=>АС=10.

[strangerforever]

[tex]L,M, N[/tex] са средите на страните (виж чертежа) и нека [tex]\angle C=\gamma[/tex]
ПОстрояваме симетралите на [tex]LN[/tex]и [tex]ML[/tex], които пресичат [tex]AC[/tex]и [tex]CB[/tex] съответно в точки [tex]P[/tex]и[tex]Q[/tex].
[tex]\angle MLN=\gamma =>\angle MON=2\gamma ; \angle POQ=180^\circ -\gamma[/tex]
Понеже СО е ъглополовяща=>[tex]OP=OQ[/tex],но [tex]OM=ON-[/tex]-радиуси=>[tex]\angle MOP=\angle NOQ=x[/tex]
=>[tex]\angle MOP+\angle PON=\angle MON =>x+180^\circ -\gamma -x=2\gamma=>\gamma =60^\circ[/tex]

После по кос. т-ма за АВС=>АС=10.

http://bit.ly/oGGkug