Синусова теорема

[bounty]

1з. За триъгълник ABC знаем, че α-β=90°. Да се докаже, че:
1/ c=a^2-b^2/√a^2+√b^2; 2/ R=a^2-b^2/2c.

2з. Вътрешната и външната ъглополовяща при върха C на триъгълник ABC са равни. Да се намери числото k=AC^2+BC^2/R^2.

3з. В окръжност е вписан триъгълник ABC. Да се докаже, че проекцията на диаметъра, перпендикулярен на AB, върху BC, е равна на AC.

4з. В окръжност с радиус R е вписан триъгълник ABC с ъгли α,β,γ и височини AD,BE,CF. Да се намери периметърът на триъгълник ABC.

[Knowledge Greedy]

Задача 3. Да означим с [tex]DE[/tex] един диаметър на окръжността, [tex]DE \bot AB[/tex] , като точката [tex]D[/tex] е от дъгата [tex]AB[/tex], която съдържа върха [tex]C[/tex], а точката [tex]E[/tex] е от дъгата [tex]AB[/tex], която НЕ съдържа върха [tex]C[/tex]. За да установим това сме продължили [tex]BC[/tex] до пресичането с [tex]DE[/tex] и сме разгледали получения правоъгълен триъгълник.
Правата [tex]BC[/tex] сключва с въпросния диаметър [tex]DE[/tex] или ъгъл [tex]90^\circ - \beta[/tex] - ако [tex]\beta[/tex] е остър, или ъгъл [tex]\beta - 90^\circ[/tex] - ако [tex]\beta[/tex] е тъп.
( Означили сме стандартно [tex]\beta =\angle ABC[/tex])
Тогава проекцията на [tex]DE[/tex] върху правата [tex]BC[/tex] е с големина [tex]2Rcos(90^\circ -\beta)=2Rsin\beta =AC[/tex] - според синусовата теорема.

Остана сам да разгледаш случая, когато [tex]\beta =90^\circ[/tex].

[MENKA]

4 задача
P=2R(синα+синβ+синγ)

[monika_at]

4 задача
P=2R(синα+синβ+синγ)

Както казва инвейдър, решението е непълно. Трябва да се докаже.