Метрични зависимости в триъгълник

[математикЪТ]

Моля помогнете със следните задачи:

1. В правоъгълен триъгълник е вписана полуокръжност така, че диаметърът й лежи в/у хипотенузата, а центърът й дели хипотенузата на отсечки 15 см и 20 см. Да се намери радиусът на окръжността.

2. Центърът О на окръжност с радиус 3 см лежи на хипотенузата АВ на правоъгълния триъгълник АВС. Катетите АС и ВС се допират до окръжността. Да се намери лицето на триъгълника АВС, ако ОВ = 5 см.

Благодаря ВИ предварително!

[Xixibg]

[tex]1.k(O;r) ; O\in AB ; AO=15 ; BO=20 ; =>AB=35 ; AC=b ; BC=a[/tex]
[tex]O\in l_c ; =>\frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BC} ; =>\frac{15}{b}=\frac{20}{a} ; =>a=\frac{4}{3}b[/tex]
[tex]a^2+b^2=c^2 ; =>\frac{16}{9}b^2+b^2=35^2 ; =>b=21 ; =>a=\frac{4}{3}b=28[/tex]
[tex]A_1\in BC ; OA_1\bot BC[/tex]
[tex]OA_1=CA_1=r (DM:r<15); BA_1=28-r[/tex]
[tex]\triangle OA_1B[/tex] Питагорова теорема
[tex]=>(28-r)^2+r^2=20^2[/tex]
[tex]=>2r^2-56r+384=0[/tex]
[tex]=>r^2-28r+192=0[/tex]
[tex]r_1=16\in DM ; r_2=12[/tex]

[математикЪТ]

МЕРСИ МНОГО!

Ако може да помогнеш и за втората!

[Xixibg]

[tex]2.[/tex] Ще използвам означенията от 1-ва задача
[tex]BO^2=A_1O^2+A_1B^2 ; A_1O=r=3 ; BO=5 ; =>A_1B=\sqrt{16}=4 ; =>BC=A_1B+A_1C=3+4=7[/tex]
[tex]\triangle A_1BO \approx \triangle AB_1O[/tex]
[tex]=>\frac{A_1B}{OB_1}=\frac{BO}{AO} ; =>AO=\frac{5.3}{4}=\frac{15}{4} ; =>AB=AO+BO=\frac{15}{4}+5=\frac{35}{4}[/tex]
[tex]AB^2=AC^2+BC^2[/tex]
[tex]=>AC^2=AB^2-BC^2=(\frac{35}{4})^2-(\frac{28}{4})^2=(\frac{21}{4})^2 ; =>AC=\frac{21}{4}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{AC.BC}{2}=\frac{21.7}{8}=\frac{147}{8}=18,375[/tex]

[математикЪТ]

Благодаря!