Симпатична с ортоцентър

[Гост]

Даден е [tex]\Delta ABC[/tex] с ортоцентър [tex]H[/tex]. Ако [tex]\angle ABH = 30^\circ[/tex], да се докаже, че
[tex]AH.BC - AB.CH = BH(\sqrt{3}AB - AC)[/tex].

[gredon]

Май съм забравил да се логна като поствах задачата. Иначе този път нямам претенции, че задачата е трудна.

[ganka simeonova]

Не е. Синусови т-ми и лека тригонометрия:)

[gredon]

Сбъркал съм уравнението, сори . Трябва да е:
[tex]AH.BC - AB.CH = BH(AB-AC)[/tex] .

[gredon]

Излиза без тригонометрия.

[gredon]

Ето го и моето решение :
Вчера видях едно красиво решение и реших да я постна.
Нека [tex]\angle ACB = \gamma, H[/tex] е ортоцентъра. Нека [tex]H_1[/tex] е симетричната на [tex]H[/tex] спрямо [tex]AB[/tex]. Понеже [tex]\angle AHB = 180 - \gamma[/tex], то и [tex]\angle AH_1B = 180 - \gamma[/tex]. Следователно [tex]H_1[/tex] лежи на описната около АВС окръжност. Тогава четириъгълникът [tex]AH_1BC[/tex] е вписан и можем да напишем теоремата на Птоломей:
[tex]AH_1.BC + BH_1.AC = CH_1.AB[/tex]. (1)
Като вземем предвид, че [tex]AH_1 = AH; BH_1 = BH; CH_1 = CH + HH_1[/tex], то получаваме:
[tex]AH.BC + BH.AC = (CH+HH_1).AB[/tex].
Имайки предвид, че [tex]\Delta HBH_1[/tex] е равностранен (равнобедрен с [tex]60^\circ[/tex]) , то [tex]HH_1 = BH[/tex]. Като заместим в (1) имаме:
[tex]AH.BC + BH.AC = (CH+BH).AB; AH.BC + BH.AC = CH.AB + BH.AB[/tex]
[tex]AH.BC - AB.CH = BH (AB - AC)[/tex]

[Гост]

Задача за шестокласници