Намерете полином f(x) при делене с g(x)

[Гост]

Може ли някой да реши следната задача:
Намерете полином [tex]f(x)=x3+bx2+cx+d \in Z[x][/tex], който при делене с [tex](x^2-1)[/tex] дава остатък [tex]r(x)=-2x+1[/tex] и за корените му [tex]x_1, x_2, x_3[/tex] е на лице зависимостта: [tex]\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}=9[/tex]
Ако може по-подробно обяснение кое как се случва и защо
Благодаря, предварително

[s.karakoleva]

[tex]x^3+bx^2+cx+d=x+b+\frac{(c+1)x+(b+d)}{x^2-1}[/tex]
Горният резултат е получен при делението на двата полинома със стълбичка. Остатъкът е [tex](c+1)x+(b+d)=-2x+1[/tex] ( по условие), откъдето се получава: [tex]c+1=-2,\ b+d=1[/tex]

От формулите на Виет: [tex]x_1+x_2+x_3=-b[/tex] (1)
[tex]x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=c=-3[/tex] (2)
[tex]x_1x_2x_3=-d[/tex] (3)

По условие [tex]\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}=9\Leftrightarrow (x_2x_3)^2+(x_1x_3)^2+(x_1x_2)^2=9d^2[/tex]

(2) на втора степен:
[tex](x_1x_2)^2+(x_1x_3)^2+(x_2x_3)^2+2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=c^2\Leftrightarrow 9d^2+2bd=c^2\Leftrightarrow 9d^2+2d(1-d)=9\Leftrightarrow 7d^2+2d-9=0[/tex]
Решенията на квадратното уравнение са [tex]d_1=-\frac97\notin \cal{Z}, \ d_2=1\in\cal{Z}[/tex]

Следователно [tex]d=1, \ b=0, \ c=-3\ .[/tex]

[Гост]

Благодаря много за бързия отговор