6/n(n+1)(4n+5)

[emiliq_e]

1. Да се докаже за всяко естествено n:
а) 6/n(n+1)(4n+5)
б) 6/n(n*n +5)
в) 24/(n*n*n*n +2n*n*n +11n*n +10n)

2. Да се докаже , че ако 3/(a*a +b*b) , то 3/a i 3/b

3.ДА се докаже, че ако m и n принадлежат на N са такива, че 10/(3(на n-та степен ) +m) , то 10 / (3(на (n+4)-та степен) +m)

[martin123456]

1
a) [tex]2|n(n+1)[/tex], защото това са две последователни цели числа и едното значи е нечетно, а другото е четно
остава да док че [tex]2|n(n+1)(4n+5)[/tex]. [tex]4n+5 \equiv n+2 (mod 3)[/tex]=>да док [tex]3|n(n+1)(n+2)[/tex]. но сред 3 последователни това е вярно - поне едното се дели на 3
б) [tex]n^2+5 \equiv n+1 (mod 2)[/tex]=>от [tex]2|n(n+1)[/tex]=>[tex]2|n(n^2+5)[/tex]. остава да док че 3 дели израза. ако 3|n=>ок. ако ли не, то забелязваме че [tex]n^2 \equiv 1 (mod 3)[/tex]=>[tex]3|(n^2+5)[/tex].
в)[tex]n^4+2n^3+11n^2+10n=n(n^3+2n^2+11n+10)=n[n^2(n+1)+(n+1)(n+10)]=n(n+1)(n^2+n+10)[/tex]. ако 3|n, то изразът се дели на 3. ако ли не то [tex]n^2+n+10 \equiv n+2 (mod 3)[/tex]=> дали [tex]3|n(n+1)(n+2)[/tex], кеото е вярно. ако [tex]n \equiv 0 (mod 4)[/tex]=>[tex]n^2+n+ 10 \equiv 0 (mod 2)[/tex]=>изразът се дели на 8. ако [tex]n \equiv 1 (mod 4)[/tex], то [tex]n+2 \equiv 0 (mod 2)[/tex], [tex]n^2+n+10 \equiv 0 (mod 4)[/tex]=>ok. ако [tex]n \equiv 2 (mod 4)[/tex]=>[tex]n^2+n+10 \equiv 0 (mod 4)[/tex]=>ок. ако [tex]n \equiv 3 (mod 4)[/tex]=>[tex]n+1 \equiv 0 (mod 4)[/tex], [tex]n^2+n+10 \equiv 0 (mod 2)[/tex]=>ok.

[martin123456]

[tex]x^2 \in \{0,1\} (mod 3)[/tex] =>[tex]x^2+y^2 \in \{0,1,2\} (mod 3)[/tex], като е 0 <=> [tex]3|x \cap 3|y[/tex].

[martin123456]

[tex]3^{n+4}+m \equiv 3^n.81 +m \equiv 3^n+m (mod 10)[/tex]