Задача със скаларно произведение на вектори

[Гост]

Попаднах на една доста противоречива задача, отнасяща се до скаларно произведение на вектори. От няколко дена ме мъчи, трябва да я реша до утре, така че се надявам някой да ми помогне.

Условието е следното:
Дадено е, че \vec{a}.\vec{b} = \vec{a}.\vec{c} и това е изпълнено за ВСЕКИ вектор \vec{a}. Написал съм думата с големи букви, защото може би в случая е ключова. Трябва да се докаже, че \vec{b} = \vec{c}.

Моите разсъждения до тук са следните: като преобразуваме равенството, се получава, че \vec{a})\vec{b} - \vec{c}) = 0, но това само означава, че \vec{a} e перпендикулярен на (\vec{b} - \vec{c}), но не и че \vec{b} = \vec{c}.

Ще се радвам да ми съдействате, задачата ми трябва спешно, мерси предварително.

[Гост]

Попаднах на една доста противоречива задача, отнасяща се до скаларно произведение на вектори. От няколко дена ме мъчи, трябва да я реша до утре, така че се надявам някой да ми помогне.

Условието е следното:
Дадено е, че [tex]\vec{a}.\vec{b} = \vec{a}.\vec{c}[/tex] и това е изпълнено за ВСЕКИ вектор [tex]\vec{a}[/tex]. Написал съм думата с големи букви, защото може би в случая е ключова. Трябва да се докаже, че [tex]\vec{b} = \vec{c}.[/tex]

Моите разсъждения до тук са следните: като преобразуваме равенството, се получава, че [tex]\vec{a}.(\vec{b} - \vec{c}) = 0[/tex], но това само означава, че [tex]\vec{a}[/tex] e перпендикулярен на [tex](\vec{b} - \vec{c})[/tex], но не и че [tex]\vec{b} = \vec{c}.[/tex]

Ще се радвам да ми съдействате, задачата ми трябва спешно, мерси предварително.

Не всеки [tex]\vec{a}\bot (\vec{b} - \vec{c})=\vec{d}\Rightarrow \vec{b} - \vec{c}=\vec{d}=\vec{o}\Rightarrow \vec{b}=\vec{c}.[/tex]

[Гост]

Добре, ами ако двата вектора имат определена дължина |a| и |b-c| и сключват ъгъл 90 градуса помежду си, то скаларното им произведение нали пак ще е 90 градуса. Тоест |b-c|=|d| и b=c+d?

[userfool]

След като е вярно за всеки вектор значи е вярно и когато \vec{a} = \vec{b} и \vec{a} = \vec{c}. като заместим а с b и c поотделно и съберем двете равенства се получава b^2 + c^2 = 2\vec{b} \vec{c}. Но скаларното произведение e двете дължини по косинуса м/у тях. Но (b-c)^2 = b^2 + c^2 - 2bc >=0. b и c са > 0 а косинуса е <= 1 по модул. значи за да е равно b^2 + c^2 - 2\vec{b} \vec{c} на 0 трябва cos\alpha = 1 и b = c. С една дума да са колинеарни и равни по големина тоест векрор b = вектор c.

[Гост]

Благодаря много за последния отговор, много ми помогна! Това е доста интересен трик и доказва проблема безупречно!