Детерминанти от n-ти ред?

[Radeon]

Някой може ли да ми обясни как се пресмята детерминантата на матрица от n-ти ред?
Ето една примерна задача,която ме мъчи:
|2 1 0 ... 0|
|1 2 1 ... 0|
|0 1 2 ... 0|
|.............|
|0 0 0 ... 2|
Ако може малко по подробно обяснение така че да разбера и самия метод по който се решават този вид детерминанти....

[Гост]

На последния ред последното число не е ли 1?

[Radeon]

Не.
Сега проверих пак,преписал съм я правилно от сборника.
btw Отговорър е n+1.

[s.karakoleva]

Развиваме по първия ред:
[tex]\left|
\begin{array}{cccccc}
2 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \ldots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|=2\cdot(-1)^2\cdot
\left|
\begin{array}{cccccc}
2 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \ldots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|+1\cdot(-1)^3\cdot
\left|
\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \ldots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|[/tex]

Последната детерминанта развиваме по първия стълб и се получава [tex]\Delta_n=2\Delta_{n-1}-1\cdot (-1)^2\Delta_{n-2}[/tex].

Така получихме рекурентна зависимост [tex]\Delta_n=2\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}[/tex], откъдето се вижда, че [tex]\Delta_n+\Delta_{n-2}=2\Delta_{n-1}[/tex], т.е. [tex]\Delta_{n-1}[/tex] е средно-аритметично на [tex]\Delta_{n}[/tex] и [tex]\Delta_{n-2}[/tex].

Следователно, детерминантите [tex]\Delta_{1},\Delta_{2}\ldots\Delta_{n-2},\Delta_{n-1},\Delta_{n}, \ldots[/tex] образуват аритметична прогресия, на която търсим първия член и разликата.

[tex]\Delta_{1}=2, \quad\Delta_{2}=3[/tex], следователно [tex]d=1[/tex].

За по-строго доказателство за разликата може да се постъпи така: Разписваме членовете по рекурентната формула при [tex]n=3,4 \ldots n[/tex]
[tex]\Delta_3=2\Delta_{2}-\Delta_{1}[/tex]
[tex]\Delta_4=2\Delta_{3}-\Delta_{2}[/tex]
[tex]\Delta_5=2\Delta_{4}-\Delta_{3}[/tex]
[tex]\Delta_6=2\Delta_{5}-\Delta_{4}[/tex]
[tex]\ldots[/tex]
[tex]\Delta_{n-1}=2\Delta_{n-2}-\Delta_{n-3}[/tex]
[tex]\Delta_n=2\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}[/tex]

и събираме почленно получените равенства. Доста от събираемите се съкращават:

[tex]\Delta_n=\Delta_2-\Delta_1+\Delta_{n-1}[/tex]

[tex]\Delta_n-\Delta_{n-1}=3-2=1[/tex]

Следователно, аритметичната прогресия [tex]\Delta_{1},\Delta_{2}\ldots ,\Delta_{n}, \ldots[/tex] има първи член 2 и разлика 1. За [tex]n[/tex]- тия член имаме
[tex]\Delta_{n}=\Delta_{1}+(n-1)\cdot d=2+(n-1)\cdot 1=n+1.[/tex]

[Radeon]

всичко схванах освен това
[tex]\Delta[/tex] 1=2, [tex]\Delta[/tex] 2=3 ... откъде го взимаме?

[s.karakoleva]

Ами от дадената детерминанта от n- ти ред при n=1 и n=2:

[tex]\Delta_1=|2|[/tex],

[tex]\Delta_2=\left|\begin{array}{cc}
2 &1\\ 1 &2
\end{array}\right|[/tex]