Обратно изображение

[Гост]

1. Да се докаже, че ако f е обратимо изображение, то f има единствено обратно изображение.

2. Да се докаже, че едно изображение f: X -> Y е обратимо тогава и само тогава, когато е биекция. Да се докаже, че в този случай [tex]f^{-1}[/tex] също е биекция.

[Гост]

1) Ако g, h са обратни на f и g≠h, то има точка y от Y, така че g(y)≠h(y). Понеже f(g(y))=y, f(h(y))=y, имаме f(g(y))=f(h(y)). Тогава g(f(g(y)))=g(f(h(y))). От друга страна g(f(g(y)))=g(y), g(f(h(y)))=h(y), тоест g(y)=h(y), което е противоречие с g(y)≠h(y).

2) Ако f е обратимо, то по определение съществува изображение g: Y --> X така че f(g(y))=y, за всяко y от Y, и g(f(x))=x за всяко x от X. Ако f(a)=f(b), то g(f(a))=g(f(b)), което дава a=b, тоест f е инекция. За всяко y от Y, съществува x от Х , така че f(x)=y. Наистина, като положим x=g(y), имаме f(x)=f(g(y))=y, което показва, че f е сюрекция, и значи е биекция.

Ако f е биекция, то за всяко y от Y, съществува единствен x от Х , така че f(x)=y (иначе f или не е сюрекция, ако няма такъв х, или не е инекция, ако такъв х не е единствен, което значи, и в двата случая, че f не е биекция). Полагаме тогава g(y)=x и значи g е добре дефинирано. При това за всяко y от Y имаме f(g(y))=f(x)=y, a за всяко x от X имаме g(f(x))=x, което показва, че f е обратимо. Обратното изображение g е биекция понеже е едновременно инекция и сюрекция. Наистина, ако g(a)=g(b), то f(g(a))=f(g(b)), и значи a=b , т. е. g е инекция. От друга страна, за всеки x от X, съществува y от Y, така че g(y)=x, (полагаме y=f(x)), което показва че g е сюрекция.