Гама-функция

[WEBER]

Да се докаже тъждеството:

Г [tex](\frac{1}{2 }) = \sqrt{\pi }[/tex]

[pipi langstrump]

Малко по-общо:


[tex]\operatorname{\Gamma}(z) = \lim_{n\to\infty } \,\frac{n^zn!}{z(z+1)...(z+n)}[/tex]
[tex]\operatorname{\Gamma}(1-z) = \lim_{n\to\infty } \,\frac{n^{1-z}n!}{(1-z)(2-z)...(n-z)(n+1-z)}[/tex]
[tex]\operatorname{\Gamma}(z)\operatorname{\Gamma}(1-z) = \lim_{n\to\infty } \frac{n^zn!}{z(z+1)...(z+n)}\,\lim_{n\to\infty }\, \frac{n^{1-z}n!}{(1-z)(2-z)...(n-z)(n+1-z)} =[/tex]
[tex]=\lim_{n\to\infty}\, \frac{n(n!)^2}{z(n+1-z)(1^2-z^2)(2^2-z^2)...(n^2-z^2)} =[/tex]
[tex]=\frac{1}{z} \lim_{n\to\infty}\, \frac{n}{n+1-z}\,\lim_{n\to\infty}\, \frac{1}{\prod_{\nu=1}^n \frac{\nu^2 - z^2}{\nu^2} }=[/tex]

Използваме формулата на Ойлер [tex]\frac{sin \pi z}{\pi z} =\lim_{n\to\infty}\, \prod_{\nu=1}^n \frac{\nu^2 - z^2}{\nu^2}[/tex]

[tex]= \frac{\pi }{sin \pi z}[/tex]

Получихме формулата [tex]\operatorname{\Gamma}(z)\operatorname{\Gamma}(1-z) = \frac{\pi }{sin \pi z}[/tex] (формула на Гаус)

Оттук, като заместим z с [tex]\frac{1}{2}[/tex] и използваме, че гама-функцията е положителна за положителни числа, получаваме каквото търсехме.

[WEBER]

Отдавна се канех да ти дам едно плюсче Мерси.