Линейна Алгебра

[critings]

Здравейте.Някой ще може ли да реши това ?
(-1 + i[tex]\sqrt{3}[/tex] ) на степен 100.

Благодаря предварително! Ако някой има малко повече свободно време ще се радвам и ако обясни в общи линии как точно я е решил

[math10.com]

Нека [tex]z = a + ib[/tex] има модул [tex]r[/tex] и аргумент [tex]\varphi[/tex]
[tex]a = r \cos \varphi[/tex]
[tex]b = r \sin \varphi[/tex]
[tex]r = \sqrt{a^2 + b^2}[/tex]


Формулата на Моавър позволява да се степенува комплексно число, представено в тригонометричен вид:
[tex]z^n = [r(\cos \varphi +i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi)[/tex],


В твоя случай [tex]a=-1 ; b=\sqrt{3} ; =>r=2[/tex]
[tex]z^{100}=2^{100}(cos 100\varphi +i.sin 100\varphi )[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]\|\begin{array}{l}cos\varphi=\frac{a}{r}=-\frac{1}{2}\\sin\varphi=\frac{b}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\Rightarrow \varphi=\frac{2\pi}{3}\Rightarrow\|\begin{array}{l}cos100\varphi=cos{\(66\pi+\frac{2\pi}{3}\)}=cos{\(\frac{2\pi}{3}\)}=-\frac{1}{2}\\sin100\varphi=sin{\(66\pi+\frac{2\pi}{3}\)}=sin{\(\frac{2\pi}{3}\)}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow z^{100}=\frac{2^{100}}{2}\(-1+i.\sqrt{3}\)=-2^{99}+i.2^{99}.\sqrt{3}[/tex]