Хомоморфизъм

[Apocalyp5e]

Нека [tex]I = [0,1)[/tex] и да е дефинирана бинарна операция, действаща по правилото a*b = {a+b}.
(с {x} озанчаваме дробната част на х)
Да се докаже, че [tex]\phi: R \rightarrow I, \ \ \phi(x)=\{x\}[/tex] е хомоморфизъм.

[martin123456]

дефинирай хомоморфизъм

[nikko]

Хомоморфизъм е изображение, което запазва алгебричните операции на структурите.
Тук очевидно е дадена само една операция, т.е. трябва да се докаже:
1) [tex]\phi(x)[/tex] е дефинирано за всяко реално число и приема стойности в интервала [0,1). Тук следва да се докаже, че за всяко реално число x е изпълнено [tex]\{x\}\in[0,1)[/tex], което е очевидно по дефиниция;
2) [tex]\phi(a*b)=\phi(a)*\phi(b)[/tex], т.е. образ на "произведение" е "произведението" от образите. Или [tex]\phi(a*b)=\phi(\{a+b\})=\{\{a+b\}\}=\{a+b\}[/tex] дали е равно на [tex]\phi(a)*\phi(b)=\{a\}*\{b\}=\{\{a\}+\{b\}\}[/tex]
По дефиниция имаме формулата [tex]\color{red}\{x\} = x -\lfloor x\rfloor[/tex] и според тази формула
[tex]\{a+b\}=a+b-\lfloor a+b\rfloor[/tex]
[tex]\{\{a\}+\{b\}\}=\{a\}+\{b\}-\lfloor \{a\}+\{b\}\rfloor=a-\lfloor a\rfloor+b-\lfloor b\rfloor-\lfloor \{a\}+\{b\}\rfloor[/tex] и двата израза са равни тогава и само тогава, когато [tex]\color{red}\lfloor a+b\rfloor=\lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor+\lfloor \{a\}+\{b\}\rfloor[/tex]
Разписвам дясната страна и понеже [tex]\lfloor a\rfloor[/tex] и [tex]\lfloor b\rfloor[/tex] са цели числа, то те могат да излязат пред "големите" [tex]\lfloor\;\rfloor[/tex] и дясната страна се преобразува [tex]\lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor+\lfloor a -\lfloor a\rfloor+b -\lfloor b\rfloor\rfloor=\lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor-\lfloor a\rfloor-\lfloor b\rfloor+\lfloor a+b\rfloor=\lfloor a+b\rfloor[/tex] и готово получихме точно лявата страна.

[martin123456]

т.е. си я решил