Метрично канонично уравнение 2x^2-2xy+2y^2-x-y-1=0

[Гост]

Здравейте умници,
Изпитвам известни затруднения в решаването а следната задача и се обръщам към вас за помощ
Намерете метричното канонично уравнение на кривата:

[tex]2x^{2}-2xy+2y^{2}-x-y-1=0[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]2x^2-2xy+2y^2-x-y-1=0[/tex]

Класификация на квадрики.PNG (6.04 KiB) Прегледано 764 пъти

[tex]A=\begin{vmatrix}
2 & -1 & -\frac{1}{2 }\\
-1 & 2 &-\frac{1}{2 }\\
-\frac{1}{2 } & -\frac{1}{2 } & -1
\end{vmatrix}=-\frac{9}{2 }[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]Кривата не е дегенерована.
[tex]A_{33}=\begin{vmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2 \end{vmatrix}=3>0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] кривата е от елиптичен тип.
От системата
[tex]\left|\begin{matrix}
2x_{0} & -y_{0} & -\frac{1}{2 }=0\\
-x_{0} & +2y_{0} &-\frac{1}{2 }=0\\
\end{matrix}\right.[/tex]
намираме центъра на елипсата - точката [tex]C(\frac{1}{2};\frac{1}{2} ).[/tex]
Пресмятаме свободния член от каноничния вид [tex]f=\frac{A}{A_{33}}=-\frac{3}{2}.[/tex]
Формулите на транслацията [tex]\tau:[/tex] са [tex]\left|\begin{matrix}
x= & \frac{1}{2 }+ \xi \\
y= &\frac{1}{2 }+ \eta \\
\end{matrix}\right.[/tex]
След заместването получаваме [tex]\xi^{2}-\xi \eta +\eta^{2} = \frac{3}{4 }[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow (2\xi -\eta)^{2}+\eta^{2}=3[/tex], а чрез обратната транслация [tex]\left|\begin{matrix}
\xi= & x- \frac{1}{2 } \\
\eta = & y-\frac{1}{2 } \\
\end{matrix}\right.[/tex]
стигаме до каноничното (централно осно) уравнение на кривата.
То е [tex]\frac{X^{2}}{3}+\frac{Y^{2}}{ 1}=1,[/tex] като новите променливи [tex]X=2x-y+\frac{1}{2}[/tex] и [tex]Y=y-\frac{1}{2}[/tex]подсказват, че освен [tex]\tau[/tex], за да постигнем каноничния вид е използвана и ротация [tex]\rho[/tex] - от представянето [tex]\xi =\sqrt{2} (Xcos(-\frac{\pi }{4 } )+Ysin(-\frac{\pi }{4 } ))[/tex]..
Оставяме да определите уравненията на осите, както и координатите на фокусите.