Лице на четириъгълник

[Гост]

Затруднява ме тази задача ако някой може да помогне ще съм му много благодарен

Дадени са точките А(2,-4,-3), В(5,-6,0), С(-1,3,-3), D(-10,-8,7)

б)да се намери лицето на четириъгълникa ABCD
(има и други подточки,но тях ги разбрах как стават)

[Knowledge Greedy]

Групираме векторите по двойки - например [tex]\vec {AB}[/tex] и [tex]\vec {AD}[/tex] - едната двойка,
[tex]\vec {CB}[/tex] и [tex]\vec {CD}[/tex] - другата двойка. След това намираме векторното произведение на векторите от първата двойка и половината от модула на това произведение:
[tex]S_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}|\vec {AB} \times \vec {AD}|[/tex]
Остава да намерим и лицето на [tex]S_{\Delta CBD}[/tex] по същия начин -
[tex]S_{\Delta CBD}=\frac{1}{2}|\vec {CB} \times \vec {CD}|[/tex] и да съберем двете лица.
=========================================================
Но аз спрях дотук, защото си направих труда да проверя, че четирите точки дадени в условието не са компланарни.
Това означава на практика да се формират още две двойки вектори и за тях да се повторят изчисленията на векторните им произведения, т.е. по същество да се намери лицето на повърхнината на триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex]- сбор на лицата [tex]S_{\Delta ABD}, S_{\Delta ABC}, S_{\Delta ACD}[/tex] и [tex]S_{\Delta CBD}.[/tex]
................................................................................
Същественото тук е дефиницията на векторно произведение.
Ако [tex]\vec{w}[/tex] е вектор произведение на векторите [tex]\vec{u}[/tex] и [tex]\vec{v}[/tex], то той е перпендикулярен на равнината, определена от тях (перпендикулярен е на всеки от тях) и големината му [tex]|\vec{w}|[/tex] е равна на лицето на успоредника, определен от тях.
Втори важен факт е покоординатното изписване на вектора произведение с помощта на координатите на неговите векторни множители. Ако [tex]\vec{u}(x_{u},y_{u},z_{u})[/tex] и [tex]\vec{v}(x_{v},y_{v},z_{v})[/tex],
то [tex]\left|\begin{matrix}
x_{w} = y_{u}z_{v}- z_{u}y_{v}\\
y_{w} = - ( x_{u}z_{v}- z_{u}x_{v}) \\
z_{w} = x_{u}y_{v}- y_{u}x_{v}
\end{matrix}\right[/tex] Накрая разбира се е важно да се изчисли големината [tex]|\vec{w}|[/tex] с питагоровата теорема [tex]|\vec{w}|= \sqrt{x^{2}_{w}+y^{2}_{w}+z^{2}_{w}}.[/tex]

[Гост]

Благодаря ти