Изследвайте за сходимост следните редове:

[jhsokle1]

Снимка 0529.jpg (32.47 KiB) Прегледано 620 пъти

Ако някой знае да каже как се решава плс

[Spider Iovkov]

Критерий на Даламбер. Нека е даден редът с положителни членове [tex]\sum_{k=1}^{+\infty} a_{k}[/tex]. Тогава ако съществува границата
[tex]\lim_{k \to +\infty} \frac{a_{k+1}}{a_{k}} = q[/tex], то при [tex]q<1[/tex] редът е сходящ, при [tex]q>1[/tex] е разходящ, а при [tex]q=1[/tex] критерият не дава отговор.

[tex](1) \, \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^n n!}{n^n} \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{a^{n+1}.(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}.\frac{n^n}{a^n.n!} = \lim_{n \to +\infty} \frac{a.a^n.(n+1).n!}{(n+1).(n+1)^n}.\frac{n^n}{a^n.n!} = \lim_{n \to +\infty} \frac{a.n^n}{(n+1)^n}[/tex]

Последното може да се представи и като [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{a}{\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{a}{\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n \to e} = \frac{a}{e}, \, e=2,71828[/tex].

Получихме, че [tex]q = \frac{a}{e}[/tex]. При [tex]q<1 \Leftrightarrow \frac{a}{e}<1 \Leftrightarrow a<e[/tex] редът е сходящ. При [tex]a>e[/tex] — разходящ. Ако [tex]a=e[/tex], не се знае.

[tex](2) \, \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} . \left ( \frac{2a}{9} \right )^n \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{2a}{9} \right )^{n+1} . \frac{1}{n+1} . n . \left ( \frac{9}{2a} \right )^n = \lim_{n \to +\infty} \frac{(2a)^n.2a}{9^n.9}.\frac{1}{n+1}.n.\frac{9^n}{(2a)^n}[/tex]

Съкращаваме излишното и получаваме [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{2an}{9(n+1)}[/tex]. При [tex]n \to +\infty[/tex] полиномът

[tex]a_{n} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}[/tex] е еквивалентен на старшия си член, т. е.

[tex]a_{n} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0} \sim a_{n}x^n \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \frac{2an}{9(n+1)} \sim \lim_{n \to +\infty} \frac{2an}{9n} \sim \frac{2a}{9}[/tex].

Тогава редът ще бъде сходящ, ако е изпълнено [tex]\frac{2a}{9}<1 \Leftrightarrow a<\frac{9}{2}[/tex], и разходящ при [tex]a>\frac{9}{2}[/tex].