Хомоморфизъм

[Гост]

Нека [tex]\varphi[/tex] да е хомоморфизъм от пръстена R към пръстена S. Нека А да е подпръстен на S, който е максимален идеален. Да се докаже, че [tex]\varphi[/tex]^{-1 } (A)={всяко r принадлежащо на R, такова, че [tex]\varphi[/tex](r) принадлежи на А} е максимален идеален във R.

[Гост]

Не става ли въпрос за

... Да се докаже, че [tex]\varphi^{-1 } (A)=[/tex] { всяко [tex]r[/tex] принадлежащо на [tex]R[/tex], такова, че [tex]\varphi(r)[/tex] принадлежи на А е максимален идеал в [tex]R[/tex].

[Гост]

Да, за идеал става дума. Някои термини не ги знам на български.

[Гост]

Моето решение:

Понеже А е макс. идеал на S, кофакторният пръстен S/A={[tex]\varphi[/tex](r) +A | r[tex]\in[/tex] R} е поле. Тогава за всяко r[tex]\in[/tex]R съществува елемента ([tex]\varphi[/tex](r') + А), който е мултипликативен инверс на ([tex]\varphi[/tex](r) +A). Т.е. ([tex]\varphi[/tex](r) +A)([tex]\varphi[/tex](r') + А)=(1+А)=[tex]\varphi[/tex](r)[tex]\varphi[/tex](r')+А

[Гост]

опс, продължение

=[tex]\varphi[/tex](r)[tex]\varphi[/tex](r')+А т.е. [tex]\varphi[/tex](r)[tex]\varphi[/tex](r')=[tex]\varphi[/tex](rr')[tex]\in[/tex] A . Тоест, разглеждани като елементи на S/A , [tex]\varphi[/tex](r)[tex]\varphi[/tex](r')=[tex]\varphi[/tex](rr')=1. Нека rr'=a. Понеже [tex]\varphi[/tex] е хомоморфизъм, следва че ако 1=[tex]\varphi[/tex](а)=1.1=[tex]\varphi[/tex](а)[tex]\varphi[/tex](а)=[tex]\varphi[/tex](аа) следва [tex]\varphi[/tex](а)-[tex]\varphi[/tex](аа)=0 на кофакторният ринг S/A, което е точно A. T.e. [tex]\varphi[/tex](а-aa)=[tex]\varphi[/tex](а(1-a))=[tex]\varphi[/tex](a)[tex]\varphi[/tex](1-a) [tex]\in[/tex]A . Но понеже S/A е поле следва, че поне едното от двете трябва да е нула на R/S, и понеже [tex]\varphi[/tex](r)[tex]\notin[/tex] понеже има мултипликативен инвърс ( забравих да го спомена в началото), то следва че [tex]\varphi[/tex](1-a)[tex]\in[/tex]A. Но тогава 1-rr' [tex]\in[/tex] [tex]\varphi[/tex][tex]^{-1 }[/tex](А) т.е. за всяко r [tex]\notin[/tex]R намерихме мултипликативен инверс във кофакторния ринг R/[tex]\varphi[/tex]^{-1 }(А) т.е. той е поле, т.е. [tex]\varphi[/tex][tex]^{-1 }[/tex](А) е максимален идеал във R

[Гост]

=[tex]\varphi[/tex](r)[tex]\varphi[/tex](r')+А т.е. [tex]\varphi[/tex](r)[tex]\varphi[/tex](r')=[tex]\varphi[/tex](rr')[tex]\in[/tex] A

да се чете

=[tex]\varphi[/tex](r)[tex]\varphi[/tex](r')+А т.е. 1-[tex]\varphi[/tex](r)[tex]\varphi[/tex](r')=1-[tex]\varphi[/tex](rr')[tex]\in[/tex] A

[Гост]

от двете трябва да е нула на R/S

да се чете

от двете трябва да е нула на S/A