Пръстен - Да се докаже, че A=<2+2i> e прост идеал във Z[i]

[Гост]

Да се докаже, че A=<2+2i> e прост идеал във Z[i]. Колко елемента има кофакторният пръстен Z[i]/A? Колко е характеристиката на кофакторният пръстен Z[i]/A?

Където,
Z[i]={a+bi | a,b [tex]\in[/tex] Z } ; A=<2+2i>={ f(x).(2+2i) |f(x) [tex]\in[/tex] Z[i]}

[Гост]

Корекция: Да се докаже, че <2+2i> НЕ е прост идеал във Z[i].

[ptj]

Докажи, че [tex]<2\sqrt{1+i}>[/tex] и [tex]\sqrt{1+i}>[/tex] са идеали, като никой от тях не съвпада с [tex]<2+2i>[/tex].

[Гост]

<2+2i> не е прост идеал, защото елемента 2+2i=2(1+i) [tex]\in[/tex] <2+2i> , но 1+i [tex]\notin[/tex] <2+2i> понеже има нечетни коефиценти докато <2+2i> има само четни. 2 също [tex]\notin[/tex] <2+2i> понеже ако принадлежи то трябва да е решение на 2=(a+bi)(2+2i) във Z, което е невъзможно ( решенията са 1/2 и -1/2).

[Гост]

Да разгледаме кофакторният пръстен Z[i]/<2+2i>. Поради начина на дефиниране на кофакторните пръстени по принцип, виждаме че (2+2i) e 0 на кофакторният пръстен. Т.е. 2+2i=0 т.е. 2i=-2. Понеже вече доказахме че <2+2i> не е прост идеал, то кофакторният пръстен не е интегрален домейн и не можем да заключим че -2=2i => -1=i . Вместо това умножаваме двете страни на 2=-2i със i и получаваме 2i=2. T.e. 2i=2=-2 ( или 4=0) т.е. във кофакторният пръстен реалните коефиценти трябва да се разглеждат по модул 4. Тогава за всяко (a+bi) от коф. пръстен имаме 4(a+bi)=4a+4bi=0+0i=0 т.е. характеристиката (или порядъка под операция събиране) е четири или делител на 4. Проверяваме за 1 и 2. Акое 1 то взимайки елемента 1 от кофакторният пръстен трябва да имаме 1.1=0 т.е. 1 принадлежи на идеала<2+2I> което е невъзможно защото идеала е само със четни коефиценти. За две имаме ако 2.1=0 принадлежи на идеала то 2 трябва да е решение на (a+bi)(2+2i)=2 , което в предната част показах че е невъзможно във Z ( а и б са 1/2 и -1/2). Тоест 4 трябва да е характеристиката на кофакторният пръстен. Сега нека да видим броя на различните елементи. Очевидно понеже коеф. са по мод 4 имаме не повече от 16 елемента за (a+bi). Но имаме и че 2i=2, което редуцира bi до само 0 или i. Например 26+23i=2+3i=2+2i+i=2+2+i=i . Тоест имаме 4 избора за а и 2 избора за b, или общо 8 елемента :0,1,2,3,i,1+i,2+i,3+i.