Как да докажа следната задача...?

[Гост]

Имаме, че А е квадратна матрица nxn и C е матрица с един стълб (nx1). Да се докаже, че det(A-E)=0 тогава и само тогава, когато AC=C.

С 3-ма колеги се мъчихме и нищо не можахме да измислим...
Благодаря!

[ptj]

От десния дистрибутивен закон за умножението:
[tex]AC-EC=(A-E)C[/tex]

и [tex]AC-EC=AC-C=B[/tex] , където [tex]В[/tex] е матрица (n x 1) от 0-и

т.е. [tex](А-Е)C=B[/tex]

Понеже умножението на матрици се извършва "стълб на първата по ред на втората",
то ако разпишем последното, ще получим че вектор-стълбовете на [tex](А-Е)[/tex] са линейно зависими,
т.е. [tex]det(A-E)=0[/tex].

[Гост]

Как получихме AC−EC=(A−E)C ?

[Гост]

И същто така как разбираме, че В се състой от 0-и?

[ptj]

Как получихме AC−EC=(A−E)C ?

(А+(-Е))C=AC+(-E)C e десния дистрибутивен закон за умножението на матрици.

И същто така как разбираме, че В се състой от 0-и?

Към двете страни на [tex]AC=C[/tex] прибавяме отдясно [tex](-C)[/tex],
т.е. [tex]АC-C=C-C[/tex]

[Гост]

Ясно, много благодаря! Интересно ми е как можем да го докажем в обратната посока

[ptj]

Записвате всичко в обратен ред:

[tex]det(A-E)=0 \rightarrow[/tex] вектор стълбовете на [tex](А-Е)[/tex] са линейно зависими.

Съществува матрица [tex]C[/tex] с размерност (nx1), за която:

[tex](А-Е)C=B[/tex], където [tex]B[/tex] е матрица (nx1) съставена от 0-и.

...

[Гост]

Много Ви благодаря!

[pipi langstrump]

Записвате всичко в обратен ред:

[tex]det(A-E)=0 \rightarrow[/tex] вектор стълбовете на [tex](А-Е)[/tex] са линейно зависими.

Съществува матрица [tex]C[/tex] с размерност (nx1), за която:

[tex](А-Е)C=B[/tex], където [tex]B[/tex] е матрица (nx1) съставена от 0-и.

...

A как разбираме, че С е именно матрицата от условието?

[ptj]

Всяка матрица [tex]C[/tex], за която вектор стълбовете на [tex](А-Е)[/tex] са линейно зависими води до:
[tex]AC=C[/tex].

А понеже показахме и обратното, то съответствието е еднозначно.

[pipi langstrump]

Всяка матрица [tex]C[/tex], за която вектор стълбовете на [tex](А-Е)[/tex] са линейно зависими води до:
[tex]AC=C[/tex].

А понеже показахме и обратното, то съответствието е еднозначно.

Обаче трябва да се докаже, че ако вектор-стълбовете на А-Е са линейно, зависими, то АС=С за всяко С. От едното твърдение не следва другото. Това, че вектор-стълбовете на А-Е са линейно зависими означава само, че има поне една матрица-стълб Л, за коятокоято АЛ=Л.

[ptj]

Напротив, означава точно това, което написах.

Взимаме произволна [tex]C[/tex], за която вектор- стълбовете на [tex](A-EC)[/tex] са линейно зависими и доказваме [tex]AC=C[/tex].

[Гост]

Нека АС=С следователно (А-Е).С=0, където винаги имаме тривиалното решение С=0. Ако обаче ( това трябва да е в условието, иначе твърдението не е вярно) матрицата стълб С е ненулева то тогава дет(А-Е)=0 защото иначе ако дет(А-С) различно от 0 това ще принуди С да бъде 0, което е противоречие със (изпуснатото ) условие. Сега нека дет(А-Е)=0. Тогава съществува ненулева матрица С, която е решение(нетривиално) на уравнението (А-Е).С=0 т.е. АС=С.
В заключение, ако А и ненулевата С са съвместими за матрично умножение, то дет(А-Е)=0 ако и само ако АС=С.

[pipi langstrump]

Не съм прочел добре условието : )