Хомоморфизъм от R-->R

[Варна]

Да се намерят всички възможни пръстенни хомоморфизми от R-->R (реалните във реалните числа)

[Варна]

Един възможен хомоморфизъм е тривиалният [tex]\varphi[/tex](а)=0. За да определяне на останалите са нужни наколко стъпки.

1-во. Възможните хомоморфизмо от Z-->Z ( целите в целите числа).
Имаме от дефиницията за хомоморфизъм [tex]\varphi[/tex](а)=[tex]\varphi[/tex](1+1+...+1)=[tex]\varphi[/tex](1)+[tex]\varphi[/tex](1)+...+[tex]\varphi[/tex](1)=а.[tex]\varphi[/tex](1) за всяко цяло число а. Тоест хомоморфизма [tex]\varphi[/tex] : Z-->Z е еднозначно определян от [tex]\varphi[/tex](1)=к, за някое цяло число к. В частност за цялото число 1 имаме освн това [tex]\varphi[/tex](1)=k=[tex]\varphi[/tex](1.1)=[tex]\varphi[/tex](1)[tex]\varphi[/tex](1)=[tex]к^{2}[/tex] , т.е. k=[tex]к^{2}[/tex] с решения 0(тривиалният- всеки елемент се изобразява в нулата) и 1 ( всеки елемент се изобразява в себе си).

2-ро. Възможните хомоморфизмо от Q-->Q.
Имаме [tex]\varphi[/tex](p/q)=[tex]\varphi[/tex](1/q+1/q+...1/q)=[tex]\varphi[/tex](1/q)+[tex]\varphi[/tex](1/q)+...+[tex]\varphi[/tex](1/q)=p.[tex]\varphi[/tex](1/q). Умножавайки числителят и знаменателят с q получаваме [tex]\varphi[/tex](p/q)=p[tex]\varphi[/tex](1/q)=[tex]\frac{p}{q}[/tex].q[tex]\varphi[/tex](1/q)=[tex]\frac{p}{q}[/tex]([tex]\varphi[/tex](1/q)+[tex]\varphi[/tex](1/q)+...+[tex]\varphi[/tex](1/q))=[tex]\frac{p}{q}[/tex][tex]\varphi[/tex](q/q)=[tex]\frac{p}{q}[/tex][tex]\varphi[/tex](1). От тук по същите съображения, хомоморфизмите са определени от хомоморфизма на 1 и получаваме отново нулевият или идентичният хомоморфизъм.
3-то. Възможните хомоморфизмо от R-->R.
Тука не е възможно раздробяване и изкарване на множител пред [tex]\varphi[/tex], но се изполва факта чеза всяко реално неотрицателно x, съществува неотрицателно y, такова че x=[tex]y^{2}[/tex]. Тогава имаме за всяко неотрицателно x,
[tex]\varphi[/tex](x)=[tex]\varphi[/tex](y.y)=[tex]\varphi[/tex](y).[tex]\varphi[/tex](y)>=0, понеже последното е квадрат на някое реално число. Последното означава още че ако реалните a>b, т.е. a-b>0, [tex]\varphi[/tex](a-b)=[tex]\varphi[/tex](a)-[tex]\varphi[/tex](b) т.е. [tex]\varphi[/tex](a)>[tex]\varphi[/tex](b) или хомоморфизма в пръстена на реалните запазва неравенствата. Но тогава ако хомоморфизма на реалното r е някое i различно от r, то понеже рационалните са безкрайни гъсти, съществува някое разионално q между тях такова че r>q>i имаме че [tex]\varphi[/tex](q)=q поради точка 2. Но тогава [tex]\varphi[/tex](r)>[tex]\varphi[/tex](q) поради точка 3, или i>q -противоречие. Следователно [tex]\varphi[/tex](r)=r и единствено възможните хомоморфизмо R-->R са нулевият и идентичният.