x^4 +1 неразложимост

[Варна]

Знаем, че ако p(x)[tex]\in Z[x][/tex] - (полиномите с цели коефиценти) е разложим във Q[x]-полиномите с коефиценти рационални числа, то е разложим във Z[x]-полин. с коеф. целите числа и съответно във [tex]Z_{p }[/tex][x] - полином. с коеф. числата по модул p, където p е просто. И обратно ако е неразложим във някое [tex]Z_{p }[/tex][x] то е неразложим във Z[x] и съответно във Q[x]. Обратното обаче не е вярно, ако е разложим във някое [tex]Z_{p }[/tex][x], това не означава че е разложим във Q[x].

Да се докаже, че [tex]x^{4}+1[/tex], който въпреки че е неразложим във Q[x], е разложим във [tex]Z_{p }[/tex][x] за всяко просто число p

[Варна]

Ако за всяко просто число p, съществува a[tex]\in[/tex] [tex]Z_{p }[/tex] такова че:

или [tex]а^{2}[/tex]=-1 т.е.тогава [tex]x^{4}[/tex]-1=([tex]x^{2}[/tex]+a)([tex]x^{2}[/tex]-a)

или [tex]а^{2}[/tex]=2 т.е. тогава [tex]x^{4}[/tex]-1=([tex]x^{2}[/tex]+ax+1)([tex]x^{2}[/tex]-ax+1)

или [tex]а^{2}[/tex]=-2 т.е. тогава [tex]x^{4}[/tex]-1=([tex]x^{2}[/tex]+ax-1)([tex]x^{2}[/tex]-ax-1)

За да покажем, че за всяко [tex]Z_{p }[/tex] поне един от 3-те случая се случва, ще разгледаме групният хомоморфизъм [tex]\varphi[/tex] от U(p) към U(p) зададен чрез: [tex]\varphi[/tex](x)=[tex]x^{2}[/tex]
Факт: Кернела Ker [tex]\varphi[/tex] на хомоморфизма е [1,-1], защото идентичният елемент на U(p) е 1, и освен това U(p) е интегрален домейн, т.е. няма нулеви делитиели т.е. решенията на [tex]x^{2}[/tex]=1 в U(p) т.е. [tex]x^{2}[/tex]-1=(x-1)(x+1)=0 са само [1,-1].
Но U(p)/Ker [tex]\varphi[/tex] е изоморфна на H=im([tex]\varphi[/tex] ) т.е. U(p)/Ker [tex]\varphi[/tex] [tex]\approx[/tex] H=im([tex]\varphi[/tex] ) следва че H има точно половината елементи на U(p) и разглеждаме тогава кофакторното множество от 2 елемента U(p)/H. Сега да предположим че нито -1 , нито 2 принадлежат на H. Тогава имаме че те принадлежат на единственият друг елемент K на кофакторното множество от 2 елемента U(p)/H={H,K}, т.е. -1H=2H=K. Тогава от свойствата на кофакторните множества, следва че H=[tex](-1)^{-1}[/tex]2H=-2H (инвърса на -1в U(p) е -1) т.е. -2[tex]\in[/tex]H. Взаключение доказахме че или поне едното от -1 или 2 е квадрат на някое а във [tex]Z_{p }[/tex]=U(p)[tex]\cup[/tex] {0} или ако нито едно от тях е там то тогава задължително -2 е квадрат на някое такова а.

[drago]

Всъщност искаме да покажем, че или -1 е квадратичен остатък по модул [tex]p[/tex] , или ако не е, то тогава поне едно от двете: 2 или -2 са такива. ( [tex]a[/tex] е квадратичен остатък по модул [tex]p[/tex] , ако има цяло [tex]x[/tex], т.ч. [tex]x^2 \equiv a \pmod{p}[/tex] )
Да припомним символа на Льожандър [tex](\frac{a}{p})[/tex], който e 1, ако [tex]a[/tex] е квадратичен остатък по модул [tex]p[/tex] и -1, ако не е. Основното му свойство е:
[tex](\frac{a}{p})=a^{\frac{p-1}{2}}[/tex]. Тук навсякъде p е просто.
Сега нека [tex]p=4k+1[/tex]. В този случай [tex](\frac{-1}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=1[/tex], значи -1 е квадр. остатък.
Да разгл. и другия сл. [tex]p=4k+3[/tex], Тогава [tex](\frac{-1}{p}) =-1[/tex]
Имаме [tex](\frac{-2}{p})=(\frac{-1}{p})\cdot (\frac{2}{p})=-(\frac{2}{p})[/tex].
Това означава, че едно от двете: -2 и 2 е квадр. остатък, а другото не е.

Малко коментар по другото решение: С [tex]U(p)[/tex] явно е означена групата [tex]Z_p[/tex] , но относно умножението. Tя е група, или казано по друг начин [tex]Z_p[/tex] е поле. Няма нужда от думичката "интегрален домейн", тъй като [tex]Z_p[/tex] е нещо повече, то е поле. Вместо "кърнел" и "инвърса" по-добре би било "ядрото" и "обратен(елемент)", все пак българи сме, не че съм против термините да да не се превеждат, но чак пък толкова!

[Варна]

Да добро решение! Искам да направя допълнителен коментар. U(p) не е равна на Zp нито като поле нито като група, ами това е групата под умножение на взаимнопростите с p и по-маки от p числа по мод p. (Тоест нулата тука я няма като елемент). Ако въведен освен това и събирането по модул p като бинарна операция то U(p) вече не е затворена, т.е. няма смисъл да говорим за групи и пръстени или полета.
Виждам освен това общите неща между двете решения. По начина на дефиниране на символа на Льожандър [tex]a^{(p-1)/2}[/tex], както и от свойствата на U(p), знаем, че порядъка на всеки елемент на U(p) дели порядъка на групата U(p) т.е. p-1. От това следва че [tex]a^{p-1}[/tex]=1 за всяко а във U(p). ( това е овсен това и много красив начин да се докаже малката теорема на Ферма). Сега ако а=[tex]x^{2}[/tex] е квадрат на някое число x в U(p) следва че [tex]x^{2(p-1)/2}[/tex]=1 т.е. [tex]a^{(p-1)/2}[/tex]=1. Ако ли не е то имаме [tex]a^{(p-1)/2}[/tex]=[tex]a^{(p-1)}[/tex] цялото на степен 1/2 т.е. [tex]\sqrt{1}[/tex]. И тук отново опираме решението на [tex]c^{2}[/tex]=1 във U(p). Тука се изхитряваме да се прехвърлим във полето Zp(различават се със една 0 като елементи ако не смятаме допълнителната операция събиране в Zp, но сега ние гледаме за решения под умножение) където виждаме че решенията са само 1 и -1 поради това че нямаме нулеви делители, Zp е поле. Така виждаме, че за всеки ненулев елемент на U(p) имаме че [tex]a^{(p-1)/2}[/tex]=+-1 , като ако а е квадрат на някое число то тогава е +1, а пък във всички останали случаи(ненулеви) т.е. когато не е квадрат е -1.
Нататък е ясно. Поздравления за решението

[drago]

Съжалявам, че не съм бил съвсем пунктоален.
Това

... С [tex]U(p)[/tex] явно е означена групата [tex]Z_p[/tex] , но относно умножението...

трябва да се чете така:

... С [tex]U(p)[/tex] явно е означена групата [tex]Z_p- \{0\}[/tex] , но относно умножението...