Докажете, че М е нормална подгрупа

[Apocalyp5e]

Дадена е група G от ред 10. [tex]M = \{x\in G|x^{5}=e\}.[/tex] Докажете, че М е нормална подгрупа на G.

[Baronov]

Нека [tex]h \in M, g \in G[/tex], тогава ако допуснем, че [tex](ghg^{-1})^5 \neq e[/tex] следва [tex]ghg^{-1}[/tex] е от ред 2, т.е. [tex]gh^2g^{-1} = e[/tex]. Умножаваме отляво и отдясно съответно с [tex]g[/tex] и [tex]g^{-1}[/tex]
и получаваме [tex]h^{2} = e[/tex], откъдето следва, че [tex]h = e[/tex].

[Apocalyp5e]

Нека [tex]g \in M, h \in G[/tex], тогава ако допуснем, че [tex](ghg^{-1})^5 \neq e[/tex] следва [tex]ghg^{-1}[/tex] е от ред 2, т.е. [tex]gh^2g^{-1} = e[/tex]. Умножаваме отляво и отдясно съответно с [tex]g[/tex] и [tex]g^{-1}[/tex]
и получаваме [tex]h^{2} = e[/tex], откъдето следва, че [tex]h = e[/tex].

Извинявай, сигурно още съм сънена, но... нищо не разбрах Първо, за да докажем, че нещо е нормална подгрупа, не трябва ли да докажем, че е подгрупа? А след като сме доказали, че е подгрупа, да докажем, че за всяко [tex]h\in M[/tex] и всяко [tex]g \in G[/tex] е изпълнено [tex]g^{-1}hg\in M[/tex]? Ти взимаш елементите h и g наобратно. Това какво доказва?

[martin.nikolov]

Нека [tex]g \in M, h \in G[/tex], тогава ако допуснем, че [tex](ghg^{-1})^5 \neq e[/tex] следва [tex]ghg^{-1}[/tex] е от ред 2, т.е. [tex]gh^2g^{-1} = e[/tex]. Умножаваме отляво и отдясно съответно с [tex]g[/tex] и [tex]g^{-1}[/tex]
и получаваме [tex]h^{2} = e[/tex], откъдето следва, че [tex]h = e[/tex].

Трябва да се докаже, че M е нормална подгрупа, това е задачата. Първо трябва да се покаже, че е подгрупа. А за нормалноста, с твоите означения, е наобратно трябва да се покаже, че [tex]hgh^{-1}[/tex] принадлежи на М т.е. [tex](hgh^{-1})^5=e[/tex], което е очевдно, но това е друг въпрос. Последното ти твърдение, че от [tex]h^2=e[/tex] следва [tex]h=e[/tex] също не е вярно. От къде на къде!

[martin.nikolov]

Нека [tex]g \in M, h \in G[/tex], тогава ако допуснем, че [tex](ghg^{-1})^5 \neq e[/tex] следва [tex]ghg^{-1}[/tex] е от ред 2, т.е. [tex]gh^2g^{-1} = e[/tex]. Умножаваме отляво и отдясно съответно с [tex]g[/tex] и [tex]g^{-1}[/tex]
и получаваме [tex]h^{2} = e[/tex], откъдето следва, че [tex]h = e[/tex].

Извинявай, сигурно още съм сънена, но... нищо не разбрах Първо, за да докажем, че нещо е нормална подгрупа, не трябва ли да докажем, че е подгрупа? А след като сме доказали, че е подгрупа, да докажем, че за всяко [tex]h\in M[/tex] и всяко [tex]g \in G[/tex] е изпълнено [tex]g^{-1}hg\in M[/tex]? Ти взимаш елементите h и g наобратно. Това какво доказва?

Да, точно така. Нещо не е внимавал като е чел.

[Apocalyp5e]

знам ли, аз пък си помислих, че го е доказал, но не разбирам решението.

[martin.nikolov]

знам ли, аз пък си помислих, че го е доказал, но не разбирам решението.

Възможно е.

Ако [tex]M[/tex] се състои само от единичния елемент, тогава е очевидно(макар, че това не може да се случи при група с 10 елемента, но това е друг въпрос). Ако има не-единичен елемент [tex]a[/tex] в [tex]M[/tex], тогава очевидно и всичките степени на този елемент са в множеството. Що покажем, че това са всичките елементи от ред 5. Подгрупата породена от [tex]a[/tex] е от индекс 2 и следователно всеки елемент от [tex]G[/tex] повдигнат на квадрат принадлежи на тази подгрупа(това се съобразява лесно). Нека [tex]b[/tex] е елемент от ред 5, от горното [tex]b^2[/tex] принадлежи на подгрупата породена от [tex]a[/tex], следователно [tex]b^2=a^l[/tex]. Откъдето след повдигане на терта [tex](a^l)^3=(b^2)^3=b^6=b[/tex] следва че [tex]b[/tex] е степен на [tex]a[/tex]. От тук следва, че [tex]M[/tex] е подгрупата породена от [tex]a[/tex] т.е. [tex]M=\{e,a,a^2,a^3,a^4\}[/tex] което очевидно е нормална подгрупа.

[Baronov]

Трябва да се докаже, че M е нормална подгрупа, това е задачата. Първо трябва да се покаже, че е подгрупа. А за нормалноста, с твоите означения, е наобратно трябва да се покаже, че [tex]hgh^{-1}[/tex] принадлежи на М т.е. [tex](hgh^{-1})^5=e[/tex], което е очевдно, но това е друг въпрос. Последното ти твърдение, че от [tex]h^2=e[/tex] следва [tex]h=e[/tex] също не е вярно. От къде на къде!

Това, че М е подгрупа е очевидно. От [tex]h^2 = e[/tex] и [tex]h^5 = e[/tex] (защото h е от M) следва, че [tex]h = e[/tex]. Проблемът е във вашия телевизор.

[Baronov]

Нека [tex]g \in M, h \in G[/tex], тогава ако допуснем, че [tex](ghg^{-1})^5 \neq e[/tex] следва [tex]ghg^{-1}[/tex] е от ред 2, т.е. [tex]gh^2g^{-1} = e[/tex]. Умножаваме отляво и отдясно съответно с [tex]g[/tex] и [tex]g^{-1}[/tex]
и получаваме [tex]h^{2} = e[/tex], откъдето следва, че [tex]h = e[/tex].

Извинявай, сигурно още съм сънена, но... нищо не разбрах Първо, за да докажем, че нещо е нормална подгрупа, не трябва ли да докажем, че е подгрупа? А след като сме доказали, че е подгрупа, да докажем, че за всяко [tex]h\in M[/tex] и всяко [tex]g \in G[/tex] е изпълнено [tex]g^{-1}hg\in M[/tex]? Ти взимаш елементите h и g наобратно. Това какво доказва?

Очевидно съм дефинирал g и h наобратно. Това е форум за висша математика, би трябвало да е очевидно какво съм имал предвид!

[martin.nikolov]

Трябва да се докаже, че M е нормална подгрупа, това е задачата. Първо трябва да се покаже, че е подгрупа. А за нормалноста, с твоите означения, е наобратно трябва да се покаже, че [tex]hgh^{-1}[/tex] принадлежи на М т.е. [tex](hgh^{-1})^5=e[/tex], което е очевдно, но това е друг въпрос. Последното ти твърдение, че от [tex]h^2=e[/tex] следва [tex]h=e[/tex] също не е вярно. От къде на къде!

Това, че М е подгрупа е очевидно. От [tex]h^2 = e[/tex] и [tex]h^5 = e[/tex] (защото h е от M) следва, че [tex]h = e[/tex]. Проблемът е във вашия телевизор.

Хубаво е да прегледаш твоя телевизор. Не е очевидно, че е подгрупа и трябва да се обясни, нали това е задачата. То иначе цялата задача ми е очевидна, но това не е решение. Погледни пак, написaл си че [tex]h\in G[/tex]. Пак да попитам от къде на къде [tex]h^5=e[/tex]?

[martin.nikolov]

Очевидно съм дефинирал g и h наобратно. Това е форум за висша математика, би трябвало да е очевидно какво съм имал предвид!

Що не внимаваш, пък и искаш ние да се досещаме какво си имал предвид. При това положение, си доказал, че М е нормално, но не и че е подгрупа. Нормалноста е очевидното в този злучай. Като спрягаш елемент, редът му не се променя, това е очевидно. Но пак да кажа, че трябва да се обясни че М е подгрупа.

[Baronov]

Ако [tex]M[/tex] се състои само от единичния елемент, тогава е очевидно(макар, че това не може да се случи при група с 10 елемента, но това е друг въпрос). Ако има не-единичен елемент [tex]a[/tex] в [tex]M[/tex], тогава очевидно и всичките степени на този елемент са в множеството. Що покажем, че това са всичките елементи от ред 5. Подгрупата породена от [tex]a[/tex] е от индекс 2 и следователно всеки елемент от [tex]G[/tex] повдигнат на квадрат принадлежи на тази подгрупа(това се съобразява лесно). Нека [tex]b[/tex] е елемент от ред 5, от горното [tex]b^2[/tex] принадлежи на подгрупата породена от [tex]a[/tex], следователно [tex]b^2=a^l[/tex]. Откъдето след повдигане на терта [tex](a^l)^3=(b^2)^3=b^6=b[/tex] следва че [tex]b[/tex] е степен на [tex]a[/tex]. От тук следва, че [tex]M[/tex] е подгрупата породена от [tex]a[/tex] т.е. [tex]M=\{e,a,a^2,a^3,a^4\}[/tex] което очевидно е нормална подгрупа.

Последното ти твърдение не е съвсем очевидно, а следва от факта, че всяка подгрупа с индекс 2 е нормална, което със сигурност се доказва по-трудно от задачата (трябва да се дефинира операция на група върху множество and all that good stuff).

[martin.nikolov]

Ако [tex]M[/tex] се състои само от единичния елемент, тогава е очевидно(макар, че това не може да се случи при група с 10 елемента, но това е друг въпрос). Ако има не-единичен елемент [tex]a[/tex] в [tex]M[/tex], тогава очевидно и всичките степени на този елемент са в множеството. Що покажем, че това са всичките елементи от ред 5. Подгрупата породена от [tex]a[/tex] е от индекс 2 и следователно всеки елемент от [tex]G[/tex] повдигнат на квадрат принадлежи на тази подгрупа(това се съобразява лесно). Нека [tex]b[/tex] е елемент от ред 5, от горното [tex]b^2[/tex] принадлежи на подгрупата породена от [tex]a[/tex], следователно [tex]b^2=a^l[/tex]. Откъдето след повдигане на терта [tex](a^l)^3=(b^2)^3=b^6=b[/tex] следва че [tex]b[/tex] е степен на [tex]a[/tex]. От тук следва, че [tex]M[/tex] е подгрупата породена от [tex]a[/tex] т.е. [tex]M=\{e,a,a^2,a^3,a^4\}[/tex] което очевидно е нормална подгрупа.

Последното ти твърдение не е съвсем очевидно, а следва от факта, че всяка подгрупа с индекс 2 е нормална, което със сигурност се доказва по-трудно от задачата (трябва да се дефинира операция на група върху множество and all that good stuff).

Не е нужно, да се изпозва, че подгрупа от индекс 2 е нормална. Нали ти, по-горе вече си показал, че каквото и да е М е нормално. Тук само обеснявах, че е подгрупа. Но, хубаво да го напиша за да няма пропуски. Елемент от ред 5, да кажем [tex]x[/tex], като се спрегне с който и да е елемент пак е от ред пет, а погоре сме ги изброили всичките.
Това е очевидното, защото [tex](yxy^{-1})^5=(yxy^{-1})(yxy^{-1})(yxy^{-1})(yxy^{-1})(yxy^{-1})=yx^5y^{-1}=e[/tex].

[allier]

"Подгрупата породена от е от индекс 2 и следователно всеки елемент от повдигнат на квадрат принадлежи на тази подгрупа(това се съобразява лесно)"

- Тук си казал, че е подгрупа, защото е подгрупа ... ако не се бъркам (лесно се съобразявало). Тъй че не виждам твоето решение да е по-пълно от това на Баронов.

[Baronov]

ОК прав си. Наистина фактът, че е подгрупа е по-неочевидния.

[martin.nikolov]

"Подгрупата породена от е от индекс 2 и следователно всеки елемент от повдигнат на квадрат принадлежи на тази подгрупа(това се съобразява лесно)"

- Тук си казал, че е подгрупа, защото е подгрупа ... ако не се бъркам (лесно се съобразявало). Тъй че не виждам твоето решение да е по-пълно от това на Баронов.

Подгрупата породена от елемента а, разбира се е подгрупа. Но все още не знаем, че е равна на М. Това доказваме.

[martin.nikolov]

ОК прав си. Наистина фактът, че е подгрупа е по-неочевидния.

Което е странно. Обикновено това е тривиалната част.

[Baronov]

"Подгрупата породена от е от индекс 2 и следователно всеки елемент от повдигнат на квадрат принадлежи на тази подгрупа(това се съобразява лесно)"

- Тук си казал, че е подгрупа, защото е подгрупа ... ако не се бъркам (лесно се съобразявало). Тъй че не виждам твоето решение да е по-пълно от това на Баронов.

Всъщност използвал е аритметиката във фактор-групата, за което трябва да се знае, че групата породена от а е нормална, което следва от фактът, че е с индекс 2.

[allier]

Е точно де, използвал е еди-каква си теория ... а според решението му лесно се съобразявало, че е така. Т.е. задачата е вярно защото лесно се съобразява, че е вярна.

[martin.nikolov]

Хубаво ето как се съобразява лесно. Не се изпозва никаква теория нито че подгрупа от индех 2 е нормална. Ако [tex]H[/tex] е подгрупа от индекс 2 в [tex]G[/tex], тогава за всеки елемент [tex]g\in G[/tex] е изпълнено [tex]g^2\in H[/tex]. Това е това което се съобразява лесно. Ето как, ако [tex]g\in H[/tex] тогава е тривиално. Ако не тогава [tex]g[/tex] е представител на нетривалния съседен клас(десен да речем). Тогава калса [tex]g^2 H[/tex] е различен от [tex]gH[/tex] защото [tex]g[/tex] не е в [tex]H[/tex] следователно [tex]g^2 H=eH[/tex], следователно [tex]g^2\in H[/tex].

[martin.nikolov]

Е точно де, използвал е еди-каква си теория ... а според решението му лесно се съобразявало, че е така. Т.е. задачата е вярно защото лесно се съобразява, че е вярна.

Не разбирам какъв точно е проблема. Ако някоя стъпка не е ясна може да се пита и да се изясни. Ти защо протестираш, може на автора на темата да е било ясно.

[allier]

Така е, вярно е твърдението, няма спор - но като се има предвид колко е кратка останалата част от решението, цялата задача е горе долу еквивалентна на това доказателство - и като се напише, че това лесно се вижда, то не остава нищо ...

[martin.nikolov]

Така е, вярно е твърдението, няма спор - но като се има предвид колко е кратка останалата част от решението, цялата задача е горе долу еквивалентна на това доказателство - и като се напише, че това лесно се вижда, то не остава нищо ...

Е, както виждаш, това се доказва буквално с две изречения, така че не е вярно, че нищо друго няма в задачата. Пък и е лесно, или не си съгласна? Така, че съвсем на място съм написал '...и лесно се съобразява'.