Линейни изображения на матрици

[Joana123]

Здравейте,
Имам следната задача с която не мога да се справя:
За всеки параметър α∈R е дадено следното линейно изображение:

Tα: R2→R2
Тα какво изображение се явява: сюректив, инектив или биектив?
Ако може някой да ми каже откъде да прочета как се решават подобни задачи, ще съм много благодарна.
Благодаря ви предварително.

[Гост]

При [tex]\alpha\ne -4[/tex] изображението е биективно. То може да бъде обърнато.
Обратното на [tex]\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix} \,\ \rightarrow \,\ \begin{pmatrix}
y_1\\
y_2
\end{pmatrix}[/tex], където [tex]\begin{array}{|l} y_1 = 5x_1+x_2 \\ y_2=(\alpha-1)x_1-x_2 \end{array}[/tex],
е
[tex]\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2
\end{pmatrix} \,\ \rightarrow \,\ \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix}[/tex],
където [tex]\begin{array}{|l} x_1=\frac{y+1+y_2}{4+\alpha} \\ x_2 = -\frac{3+1+5y_2}{2} \end{array}[/tex]

При [tex]\alpha = -4[/tex] изображението е инективно. Детерминантата на матрицата му е нула.

[Гост]

Сгрешил е малко колегата. При [tex]\alpha=-4[/tex] изображението има нетривиално ядро (векторна права), и значи то не може да бъде инективно. Разбира се в този случай, изображението не е и сюрективно, тъй като образа му е също векторна права (понеже е ненулево), и следователно всеки вектор в равнината, който не се съдържа в направлението на тази права няма прообраз.