Матрици

[shener.hadjimehmed]

Намерете всички диагонални матрици А от трети ред, за които е изпълнено равенството:A^3=A

[Добромир Глухаров]

Диагонална матрица от трети ред е матрицата $A=\left(\begin{array}{ccc}x&0&0\\0&y&0\\0&0&z\end{array}\right)$, където за $x,y,z$ можем да приемем, че са произволни числа (реални или комплексни).
Последователно намираме $A^2=A.A=\left(\begin{array}{ccc}x&0&0\\0&y&0\\0&0&z\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}x&0&0\\0&y&0\\0&0&z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x.x+0.0+0.0&x.0+0.y+0.0&x.0+0.0+0.z\\0.x+y.0+0.0&0.0+y.y+0.0&0.0+y.0+0.z\\0.x+0.0+z.0&0.0+0.y+z.0&0.0+0.0+z.z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x^2&0&0\\0&y^2&0\\0&0&z^2\end{array}\right)$ и $A^3=\left(\begin{array}{ccc}x^3&0&0\\0&y^3&0\\0&0&z^3\end{array}\right)$
Сега от $A^3=A$ следва системата $\begin{array}{|l}x^3=x\\y^3=y\\z^3=z\end{array}$. $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x_1=-1;\ x_2=0;\ x_3=1$ Аналогично $y_1=-1;\ y_2=0;\ y_3=1$ и $z_1=-1;\ z_2=0;\ z_3=1$ - общо $3.3.3=27$ комбинации от $x,y$ и $z$ - 27 стойности за $A$.

[shener.hadjimehmed]

А ако е А^3=4A същото ли ще се получи ? Аз получавам пак 27

[Добромир Глухаров]

Тогава ще получим системата $\begin{array}{|l}x^3=4x\\y^3=4y\\z^3=4z\end{array}$ и например за $x$ - $x(x^2-4)=0\Rightarrow x_1=-2;\ x_2=0;\ x_3=2$, същите за $y$ и $z$ - всяка от трите стойности за $x$ се комбинира с всяка от девет комбинации за $y$ и $z$ - пак общо 27 на брой стойности за $A$, например $A=\left(\begin{array}{ccc}-2&0&0\\0&2&0\\0&0&-2\end{array}\right)$

[shener.hadjimehmed]

Добре , мерси !

[Zhivko00]

Може ли да ми кажете как да пресметна А^3+А=0 ?

[Добромир Глухаров]

Може ли да ми кажете как да пресметна А^3+А=0 ?

Ако $A$ е диагонална с реални елементи, решение е само нулевата матрица. В общия случай е доста по-сложно.

[Гост]

Може ли да ми кажете как да пресметна А^3+А=0 ?

Ако $A$ е диагонална с реални елементи, решение е само нулевата матрица. В общия случай е доста по-сложно.

Добре , а може ли насока как да тръгна аз схванах начина на по горе описаните

[Добромир Глухаров]

Ами не знам дали следният начин е най-правилен, но друг не ми хрумва:

Нека $A_{n,n}$ е квадратна матрица с $n^2$ елемента - $a_{0,0},a_{0,1},...,a_{0,n},a_{1,0},a_{1,1},...,a_{1,n},...,a_{n,0},a_{n,1},...,a_{n,n}$

При конкретна стойност на $n$ пресмятаме $A^3+A$ - нова квадратна матрица с $n^2$ елемента, всеки от които е получен в зависимост от елементите на $A$. Приравняваме всеки от така получените елементи на $0$ и получаваме $n^2$ уравнения с $n^2$ неизвестни - елементите на $A$. Но последната система ще бъде много трудна за решаване, особено при големи $n$.

А конкретното условие какво е - $A$ диагонална ли е?