Матрици

[shener.hadjimehmed]

2ри пример ми е нужен на 6та

Без име1.png (14.49 KiB) Прегледано 481 пъти

Без име.png (8.67 KiB) Прегледано 481 пъти

[Добромир Глухаров]

6.1) За $n=1$ очевидно имаме $A^1=A=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\3&-2\end{array}\right)$. Да видим какво става при $n=2$: $A^2=A.A=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\3&-2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}2&-1\\3&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2.2-1.3&2.(-1)-1.(-2)\\3.2-2.3&3.(-1)-2.(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$
Виждаме, че за $A^2$ се получава единичната матрица: $A^2=E$. Следователно за $A^3$ трябва да получим $A^3=A.A^2=A.E=A$, за $A^4$ - $A^4=(A^2)^2=E^2=E$ и т.н. - за $A^n$ съответно при $n=2l$ - четно - $A^{2l}=(A^2)^l=E^l=E=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$ и при $n=2l+1$ - нечетно - $A^{2l+1}=(A^2)^l.A=E^l.A=E.A=A=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\3&-2\end{array}\right)$.
Или отговорът е: $A^n=\begin{cases}\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right), n - четно\\\left(\begin{array}{cc}2&-1\\3&-2\end{array}\right), n - нечетно\end{cases}$

[Добромир Глухаров]

5.1) Матрицата $X$ наричаме комутативна с $A$, когато $AX=XA$

$\begin{array}{l}A_{m,n}.X_{l,s}=B_{m,s}\\X_{l,s}.A_{m,n}=B'_{l,n}\end{array}\Rightarrow\begin{array}{l}l=m\\n=s\end{array}$

$\Rightarrow X$ има същата размерност като $A\Rightarrow X=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$

$AX=\left(\begin{array}{cc}1.a+2.c&1.b+2.d\\3.a+4.c&3.b+4.d\end{array}\right)$

$XA=\left(\begin{array}{cc}a.1+b.3&a.2+b.4\\c.1+d.3&c.2+d.4\end{array}\right)$

$AX=XA\Rightarrow\begin{array}{|l}a+2c=a+3b\\b+2d=2a+4b\\3a+4c=c+3d\\3b+4d=2c+4d\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}0.a+3.b-2.c+0.d=0\\2.a+3.b+0.c-2.d=0\\3.a+0.b+3.c-3.d=0\\0.a+3.b-2.c+0.d=0\end{array}$

$b=2p;\ c=3p$

$\begin{array}{|l}2a+6p-2d=0\\3a+9p-3d=0\end{array}$

$d-a=3p$

$a=q;\ d=3p+q$

$X=\left(\begin{array}{c}q&2p\\3p&3p+q\end{array}\right)\ \ \ p,q\in\mathbb{R}$

[shener.hadjimehmed]

Благодаря Ви много !!!

[shener.hadjimehmed]

Може ли да ми кажете 6.2 как става че аз не я получавам единична нея...

[Добромир Глухаров]

При умножаване на матрици умножаваме ред по стълб, например за квадратни матрици от втори ред:

$\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{array}\right)$

6.2) $\left(\begin{array}{cc}3&-2\\4&-3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}3&-2\\4&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3.3-2.4&3.(-2)-2.(-3)\\4.3-3.4&4.(-2)-3.(-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$