Диагонални матрици

[Гост]

Здравейте, имам проблем с една задачка.

Намерете всички диагонални матрици А от трети ред, за които е изпълнено равенството:

1) A^3= A
2) A^3 =4A
3) A^2 -2A+E3=0

[Добромир Глухаров]

3) $A^2-2A+E_3=0$

Характеристичното уравнение е $r^2-2r+1=0\Leftrightarrow (r-1)^2=0\Rightarrow r_{1,2}=1$

$\Rightarrow A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)=E_3$

А би могло да се реши направо и така: $A^2-2A+E_3=0\Leftrightarrow A^2-2AE_3+E_3^2=0\Leftrightarrow(A-E_3)^2=0\Rightarrow A=E_3$

За първа и втора задачи виж -> https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=63&t=20502

[Потребител1]

Намерете всички целочислени, диогонални матрици А от трети ред, за които е изпълнено неравенството:
А^3 - 3А + 2Е3 = 0
Може ли малко помощ

[Петър Евгениев]

Намерете всички целочислени, диогонални матрици А от трети ред, за които е изпълнено неравенството:
А^3 - 3А + 2Е3 = 0
Може ли малко помощ

Всяка матрица е матричен корен на характеристичния си полином. (Хамилтон- Кейли).
Едните са матриците, които имат харектеристичен полином $\chi(\lambda) = \lambda^3 -3\lambda +2.$
Значи такива например са матриците
$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0 \\
0& 1& 0 \\
0& 0& -2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1& 0& 0 \\
0& -2& 0 \\
0& 0& 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-2& 0& 0 \\
0& 1& 0 \\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
.$$



Разбира се, може и без да знаеш тези неща, да пробваш така:
За кои $a,b,c \in \mathbb{R}$ и $D$ диагонална от трети ред
т.че $D^3 -3D+2E_3 =\mathbb{O}_{3\times 3}.$
$$
\begin{pmatrix}
a^3& 0& 0 \\
0& b^3& 0 \\
0& 0& c^3
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
-3a& 0& 0 \\
0& -3b& 0 \\
0& 0& -3c
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
2& 0& 0 \\
0& 2& 0 \\
0& 0& 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
[a^3 - 3a+2]& 0& 0 \\
0& [b^3-3b+2]& 0 \\
0& 0& [c^3-3c+2]
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0& 0& 0 \\
0& 0& 0 \\
0& 0& 0
\end{pmatrix}.
$$
И пак се вижда, че по диагонала можеш да имаш само корени на характеристичния полином. $\chi(\lambda)=0, \lambda_{1,2}=1, \lambda_3=-2.$

Така, де $E_3^3-3E_3 +2E_3 =-3E_3+3E_3 = \mathbb{O}_{3\times 3}$ и $E_{3\times 3}.$
Също
$$
\begin{pmatrix}
-2& 0& 0 \\
0& -2& 0 \\
0& 0& -2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1& 0& 0 \\
0& -2& 0 \\
0& 0& -2
\end{pmatrix},
...
$$

Всички матрици, които имат характеристични полиноми $(\lambda -1)^3, (\lambda+2)^3, (\lambda-1)^2(\lambda+2), (\lambda+2)^3(\lambda-1).$