Матрица

[Гост]

Нека А е матрица равна на
(4 4)
(0 4)
Да се намери матрицата В=f(A), където f(x)=x^{2}-8x+16

[Nathi123]

[tex]f(x)=x^{2}-8x+16=(x-4)^{2} ; A={44\choose 04}\Rightarrow A-4E={44\choose 04}-4{1 0\choose 0 1}={44\choose 04}-{4 0 \choose 0 4}={0 4 \choose 0 0}\Rightarrow[/tex]
[tex]B=(A-4E)^{2}={0 4\choose 0 0}.{0 4\choose 0 0}={0 0 \choose 0 0}[/tex].

[bilyana_99]

Намерете всички диагонални матрици А от трети ред, за които е изпълнено равенството: А^3+A=0

[Добромир Глухаров]

Ако уравнението беше не за матрици, а за комплексни числа, щеше да се реши така: $x^3+x=0\Rightarrow x(x^2+1)=0\Rightarrow x_1=0;\ x_{2,3}=\pm i$. В нашия случай положението е подобно, като много ни улеснява фактът, че матрицата е диагонална. Само вместо единица - комплексното число, трябва да използваме единичната матрица $E$: $A^3+A=0\Rightarrow A(A^2+E)=0\Rightarrow A=0\cup A^2=-E$.

И така едното решение е нулевата матрица $A_1=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$ - разбира се от трети ред, както е дадено в условието. Другите решения, понеже матрицата е диагонална, са от вида $A=\left(\begin{array}{ccc}z_1&0&0\\0&z_2&0\\0&0&z_3\end{array}\right)$. Лесно намираме $A^2=\left(\begin{array}{ccc}z_1^2&0&0\\0&z_2^2&0\\0&0&z_3^2\end{array}\right)$. Имаме $A^2=-E\Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}z_1^2&0&0\\0&z_2^2&0\\0&0&z_3^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right)$, което означава, че $\begin{array}{|l}z_1^2=-1\\z_2^2=-1\\z_3^2=-1\end{array}$. $z_1=\pm i;\ z_2=\pm i;\ z_3=\pm i$, като стойностите се комбинират в осем тройки: $(z_1;z_2;z_3)\in\{(i;i;i),(i;i;-i),(i;-i;i),(i;-i;-i),(-i;i;i),(-i;i;-i),(-i;-i;i),(-i;-i;-i)\}$. Значи освен нулевата матрица имаме още осем решения:
$A_2=\left(\begin{array}{ccc}i&0&0\\0&i&0\\0&0&i\end{array}\right)$; $A_3=\left(\begin{array}{ccc}i&0&0\\0&i&0\\0&0&-i\end{array}\right)$; $A_4=\left(\begin{array}{ccc}i&0&0\\0&-i&0\\0&0&i\end{array}\right)$; $A_5=\left(\begin{array}{ccc}i&0&0\\0&-i&0\\0&0&-i\end{array}\right)$; $A_6=\left(\begin{array}{ccc}-i&0&0\\0&i&0\\0&0&i\end{array}\right)$; $A_7=\left(\begin{array}{ccc}-i&0&0\\0&i&0\\0&0&-i\end{array}\right)$; $A_8=\left(\begin{array}{ccc}-i&0&0\\0&-i&0\\0&0&i\end{array}\right)$; $A_9=\left(\begin{array}{ccc}-i&0&0\\0&-i&0\\0&0&-i\end{array}\right)$

[Kre4etalo]

Лека корекция, колега. За матрици, от $A.B=\textbf{0}$ не следва, че някоя от матриците трябва да е нулевата (следва, ако се знае, че едната е обратима). Така или директно, се вижда, че матрица, която е ненулева и има поне една нула по диагонала, също върши работа. Така че общо 27 такива матрици.
Интересно, но всъщност всички матрици, които изпълняват това равенство са подобни на някоя от тези 27 - всяка такава матрица $A$ ще има вида $T^{-1}DT$, където $D$ е някоя от горните. Понеже $A$ изпълнява такъв тип уравнение, то минималният ѝ полином няма кратни корени, откъдето следва, че тя може да се диагонализира (твърдението може да видите тук). Така уравнението за $A$ се свежда до същото, но за диагоналната ѝ версия, което решаваме в горната задача и виждаме всички възможности. Такъв тип разсъждение важи и при матрици от по-висок ред. Конкретно за матрици от трети ред, би трябвало да може да се изведе подобен резултат от теоремата на Хамилтън-Кейли, но вероятно, ще трябва да се разглеждат няколко случая. (надявам се да не бъркам някъде).

[Добромир Глухаров]

Значи ще имаме $z_k^3=-z_k;\ k=1,2,3\Leftrightarrow (z_k=0\vee z_k=-i\vee z_k=i),\ k=1,2,3$ Наистина $3^3=27$ стойности за $A$.