Групи

[justme.h]

Здравейте, би искала да попитам за една задача по висша алебра да ми помагнете или поне начин и стъпки как да си я реша.
Нека (W, ◦W ) и (R, ◦R) са групи. В множеството
W × R = {(w, r) | w ∈ W, r ∈ R}
е въведена бинарна операция по правилото
(w1, r1) ◦ (w2, r2) = (w1 ◦W w2, r1 ◦R r2).
а) Да се докаже, че (W × R, ◦) е група. Ако групите W и R са крайни, да се изрази редът на
групата W × R чрез редовете на групите W и R.
б) Нека W и R са крайни циклични групи. Да се докаже, че групата W × R е циклична тогава
и само тогава, когато редовете на групите W и R са взаимно прости.
в) Да се докаже, че C20 × C43 [tex]\cong[/tex] C860.
г) Да се докаже, че C4 × C215 [tex]\cong[/tex] C5 × C172.
д) Нека W и R са нормални подгрупи на група L, такива че
L = WR = {wr | w ∈ W, r ∈ R} и W ∩ R = {1}.
Да се докаже, че L [tex]\cong[/tex] = W × R.
Благодаря ви!

[Гост]

Под ред навярно разбираш ордера на елемнта/групата. Че е група е очевидно, следва от това че е кртезиан продуцт на групи- това се води External direct product or Direct Product. За порядъка(реда ) също е очевидно, просто умновваш порядъците. Нататък забележи, че за да нулираш директният продукт, трябва да нулираш едновременно и двата координатни елемента, т.е. ордера на всеки елемент е gcd на ордера на отделните елемнти. Тогава ако В и Р са циклични и взаимно прости, то получаваме елемнт от порядък |W|.|R| и следователно дир. продуцт е цикличен. Обратно, ако не са взаимно прости то нямаме такъв генератор, следователно нямам цикличен продукт. в) следва непосредствено. г) и двете са изпомрфни на съответната циклична група. д) това се води семидирект продукт и е същият като дирецтният в случая когато имаме нормални подгрупи, доказателството го пропускам, защото си е стандартен учебен матрял, погледни например Contemporary Abstract Algebra, Galean, - External and internal direct products

[Гост]

т.е. ордера на всеки елемент е lcm на ордера на отделните елемнти