Обратими матрици

[Гост]

А и В са 2х2 матрици с целочислени елементи такива, че А, А+В, А+2В, А+3В и А+4В са обратими и техните обратни имат също целочислени елементи. Докажете, че А+5В е обратима и нейната обратна има целочислени елементи.

[Гост]

Дадена матрица М с целочислени елементи има обратна с целочислени елементи тогава и само тогава, когато det(М)=+/-1. Ако разгледаме функцията f, дефинирана чрез f(x)=det(A+xB), петте стойности f(0), f(1), f(2), f(3) и f(4) трябва да са +1 или -1 и следователно f приема поне една от тези стойности три или повече пъти. От друга страна, f(х) е полином със степен [tex]\le[/tex]2 и следователно f може да приеме дадена стойност повече от два пъти, само ако f е константа. Следовaтелно f(х) е една от константите: 1 или -1. В частност, det(А+5В)=+/-1, от което следва, че А+5В има обратна с целочислени елементи.