Линейна система по метода на Гаус

[Davids]

Да се реши по метода на Гаус следната система:
$ax - 3y - 2z = 1$
$2x + 2az = 0$
$-3x - 2y - az = 2b$

спрямо реалните параметри $a$ и $b$.

Решил съм я няколко пъти, но искам да видя как получавате отговорите (малко различни гледни точки)

[Sup3rlum]

То добре си я решил няколко пъти, ама в крайна сметка има само една Елиминация на Гаус. Освен да го събудим от гроба, да го питаме дали е имал други гледни точки.

[Петър Евгениев]

То добре си я решил няколко пъти, ама в крайна сметка има само една Елиминация на Гаус. Освен да го събудим от гроба, да го питаме дали е имал други гледни точки.

Untitled.png (135.96 KiB) Прегледано 1223 пъти

NANI!?!?

[Sup3rlum]

NANI!?!?

Е, не

Добре, айде, за да не ме преследва чичо Гаус, ще дам решение.

$\left[\begin{array}{ccc|c} a & -3 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 2a & 0 \\ -3 & -2 & -a & 2b\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc|c} a & -3 & -2 & 1 \\ -3 & -2 & -a & 2b \\ 2 & 0 & 2a & 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc|c} a & -3 & -2 & 1 \\ -3 & -2 & -a & 2b \\ 1 & 0 & a & 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc|c} a & -3 & -2 & 1 \\ 1 & \frac{2}{3} & \frac{a}{3} & -\frac{2b}{3} \\ 1 & 0 & a & 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc|c} a & -3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -a & -b \\ 1 & 0 & a & 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc|c} a & -3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -a & -b \\ 0 & 3 & a^2+2 & -1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc|c} a & -3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -a & -b \\ 0 & 0 & a^2+3a+2 & 3b-1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{3}{a} & -\frac{2}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & -a & -b \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3b-1}{(a+1)(a+2)}\end{array}\right]$

$z=\frac{3b-1}{(a+1)(a+2)}$

$y=az-b$

$x=\frac{3}{a}y+\frac{2}{a}+\frac{1}{a}$

[Davids]

Първо преобразуваме системата до вида:
$\begin{array}{|l} аx - 3y - 2z = 1 \\ x + az = 0 \\ \frac{3}{2}x + y + \frac{a}{2}z = -b \end{array}$

Ето го моя подход в общия случай направо, без да разглеждам изключенията:
[tex]\begin{pmatrix}
a & -3 & -2 &\bigl|& 1 \\
1 & 0 & a & \bigl|& 0 \\
\frac{3}{2} & \boxed{1} & \frac{a}{2} &\bigl|& -b
\end{pmatrix}
\begin{array}{l} +\\ \\ \cdot 3 \end{array}[/tex]

$\Leftrightarrow $ [tex]\begin{pmatrix}
a + \frac{9}{2} & 0 & \frac{3a}{2} - 2 &\bigl|& 1 - 3b \\
\boxed{1} & 0 & a & \bigl|& 0 \\
\frac{3}{2} & \boxed{1} & \frac{a}{2} &\bigl|& -b
\end{pmatrix}
\begin{array}{l} \\ \cdot (-\frac{3}{2}) \\+ \end{array}
\begin{array}{l} +\\ \cdot (-(a + \frac{9}{2})) \\ ~ \end{array}[/tex]

$\Leftrightarrow $ [tex]\begin{pmatrix}
0 & 0 & -a(a + \frac{9}{2}) + \frac{3a}{2}-2 &\bigl|& 1 - 3b \\
\boxed{1} & 0 & a & \bigl|& 0 \\
0 & \boxed{1} & -a &\bigl|& -b
\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
0 & 0 & -(a^2 + 3a + 2) &\bigl|& 1 - 3b \\
\boxed{1} & 0 & a & \bigl|& 0 \\
0 & \boxed{1} & -a &\bigl|& -b
\end{pmatrix}
\begin{array}{l} \cdot (-\frac{1}{(a^2 + 3a + 2)}) \\~ \\~ \end{array}[/tex]

$\Leftrightarrow $ [tex]\begin{pmatrix}
0 & 0 & \boxed{1} &\bigl|& \frac{3b - 1}{(a + 2)(a + 1)} \\
\boxed{1} & 0 & a & \bigl|& 0 \\
0 & \boxed{1} & -a &\bigl|& -b
\end{pmatrix}
\begin{array}{l} \cdot (-a) \\+\\~ \end{array}
\begin{array}{l} \cdot a\\ \\ + \end{array}[/tex]

$\Leftrightarrow $ [tex]\begin{pmatrix}
0 & 0 & \boxed{1} &\bigl|& \frac{3b - 1}{(a + 2)(a + 1)} \\
\boxed{1} & 0 & 0 & \bigl|& -\frac{a(3b - 1)}{(a + 2)(a + 1)} \\
0 & \boxed{1} & 0 &\bigl|& \frac{a(3b - 1)}{(a + 2)(a + 1)} -b
\end{pmatrix}[/tex]

И сме готови с мазохизма

Може да поставим решението и в прилежния му вид:
$\bigl\{ \bigl(-\frac{a(3b - 1)}{(a + 2)(a + 1)}, -\frac{ba^2 + a + 2b}{(a + 2)(a + 1)}, \frac{3b - 1}{(a + 2)(a + 1)} \bigr)^T\bigr\}$

[differenciala]

Здравейте, трябва да разгледате още случаи. Например, когато $a^2+3a+2=0$ и $1-3b=0$.