[tex]M_{3x3},M^TM=I,detM=1,det(M-I)=?[/tex]

[Гост]

[tex]M_{3x3},M^TM=I,detM=1,det(M-I)=?[/tex]

[Гост]

Кратко, минималистичо, ясно, но невъзпитано лаконично.

[Гост]

* минималистично

[Sup3rlum]

[tex]M_{3x3},M^TM=I,detM=1,det(M-I)=?[/tex]

Тъй като $M^TM=I \Rightarrow M^T=M^{-1}$ следователно $M$ е ортогонална. Според теоремата за запазване на дължината, за всеки айгенвектор $\mu$, съответната айгенстойност $\lambda=\pm 1$. С взимане на $det(M-\lambda I)=0$ виждаме, че $det(M-I)=0$

За доказателство:

Знаем, че $det(M)=det(M^T)$, следователно $det(M-\lambda I)=det(M^T-\lambda I)=0$, и това ни дава същите айгенстойности за $M$ и $M^T$.

От там имаме:

$M\vec{x}=M^T\vec{x}=\lambda \vec{x}$

Взимам $M\vec{x}=\lambda \vec{x}$ и умножавам двете страни по $M^T$:

$M^TM\vec{x}=\lambda M^T\vec{x}$
$\vec{x}=\lambda^2\vec{x}$

$\Rightarrow \lambda=\pm1$

[Гост]

ето ооще едно:
[tex]\det(M-I)=\det(M-I)^{T}=\det(M^{T}-I)=\det(M^{T}-M^{T}M)=\det[M^{T}(I-M)]=\det M^{T}\cdot\det(I-M)=\det M\cdot\det[-(M-I)]=-1\cdot\det(M-I)\Rightarrow \det(M-I)=0[/tex]