Повърхност на квадрат след линейна транслация

[Davids]

Та, ще започна със забележката, че малко ми куца българската терминология, така че съм отворен за поправки.

Ако са дадени единичния квадрат (?) $E$, дефиниран като $E = \{x = {x_1 \choose x_2} \in R^2| x_1, x_2 \in [0; 1]\}$, и линейна трансформация (linear map) $\Phi: R^2 \to R^2$, да се намери повърхността на $\Phi(E)$.

Интересното е в случая, че нямаме право да ползваме понятия като детерминанта, без да ги докажем и изведем. Та, какъя би бил универсалният алтернативен начин да стигнем до извода, че лицето на получената фигура е равно на детерминантата на матрицата, с която сме трансформирали? По-късно мога да кача и какво съм направил по въпроса, подходих тригонометрично, но трябва да разгледам около 16 случая в зависимост от знаците на четирите стойности в матрицата. Идеи? Благодаря предварително.

[Sup3rlum]

$E : (0,0), (0,1), (1,1), (1,0)$

Screenshot_24.png (8.31 KiB) Прегледано 1198 пъти

След линейна трансформация $\Phi:R^2\rightarrow R^2$ представена от $F=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ трансформираната фигура е успоредник. Можем да докажeм, че е успоредник, като докажем, че две паралелни прави, остават паралелни след трансформация:

Нека означим две паралелни прави $l_1:y=mx+n_1 \Rightarrow \begin{bmatrix}x \\ mx+n_1\end{bmatrix} \Rightarrow Fl_1 = \begin{bmatrix}ax +bmx + bn_1\\ cx +dmx + dn_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(a+bm)x + bn_1\\ (c+dm)x + dn_1\end{bmatrix}$

$l_2:y=mx+n_2 \Rightarrow \begin{bmatrix}x \\ mx+n_2\end{bmatrix} \Rightarrow Fl_2 = \begin{bmatrix}ax +bmx + bn_2\\ cx +dmx + dn_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(a+bm)x + bn_2\\ (c+dm)x + dn_2\end{bmatrix}$

Еднакви коефиценти $\Rightarrow l_1' || l_2'$

Координатите на образа, ще бъдат $\Phi(E) : (0,0), (b,d), (a+b,c+d), (a,c)$

Screenshot_25.png (18.07 KiB) Прегледано 1198 пъти

От тук лицето на фигурата:

След като знаем, че фигурата е успоредник, лицето можем да го представим като разликата между правоъгълника $(0,0) (a+b,c+d)$ и две двойки еднакви тръигълници:

$A=(a+b)(c+d)-c(a+b)-b(c+d)=ac+bc+ad+bd-ac-bc-bc-bd=ad-bc$

Тъй като $a,b,c,d$ са проивзолно избрани, търсим размера на лицето: $A=|ad-bc|$

[Davids]

Единствения въпрос, който имам, е: Как доказваме равенството по модул на детерминантите и за отрицателни стойности съответно на $a, b, c, d$ във всички възможни комбинации? Защото така трансформиран квадрарът се превръща наистина в успоредник в първи квадрант, но това съответства само на случая, в който и четирите стойности в матрицата са положителни.

[Sup3rlum]

Screenshot_26.png (56.67 KiB) Прегледано 1186 пъти

Всеки успоредник може да бъде преместен, така че да е изцяло и единствено, в първия квадрант:

Screenshot_28.png (49.34 KiB) Прегледано 1186 пъти

$А=(a+b)(d-c)+ac+bd=ad-ac+bd-bc-bd+ac=ad-bc$

Аналогично за всички случаи.