Векторни подпространства и ядро на линейно изображение

[Davids]

Да се докаже, че за всяко векторно подпространство $U \subseteq \R^2$ съществува линейно изображение $\Phi: \R^2 \to \R^2$, за което $ker(\Phi) = U$.

И едно сбито разяснение относно векторни пространства и подпространства в контекста на тази задача не бих отказал.

Какво съм направил досега:
Векторните подпространства на $\R^2$ са три:
1) $\{\omicron\}$ (0-измерното)
2) Подпространството от всички прави през центъра (нулата) (1-измерното)
3) $\R^2$ itself (2-измерното).

За първото и третото подпространство функциите бяха достъпни:
1) $\Phi : \R^2 \to \R^2, x \mapsto x$, тоест $D(\Phi) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}$
3) $\Phi : \R^2 \to \R^2, x \mapsto \omicron$, тоест $D(\Phi) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}$

Какво би било обаче изображението при едноизмерно подпространство? Благодаря ви!

[Sup3rlum]

Едно векторно пространство $V : \R^n$ е пространството от всички вектори с $n$ елементи $R$. Едно множество $W$ e подпространство от $V$ само и единствено ако всеки член е затворен под операциите на $W$ (т.е. елемент от $W$ след линейна трансформация също тръбва да е елемент от $W$).
Това е аналогично на едно от условията за подгрупа. Идеята е, че ако $W$ е подпространство, не можеш да вземеш два елемента от $W$ да ги чалнеш по някъв стандартен начин и да получиш вектор дето е извън $W$

Пример: Нека вземем векторното подпространство $K \subset \R^2$ от всички вектори чиито последния компонент е $0$. Ако вземем два вектора $W: (w_1, 0), V: (v_1, 0)$, можем да докажем, че е затворено под операциите на $\R^2$:

$W+V=(w_1, 0) + (v_1,0)=(w_1+v_1, 0) \in K$
$pW=p.(w_1,0)=(pw_1, 0) \in K \Rightarrow K$ е подпространство

По задачата:

Трябва да докажем, че за всяко подпространство $U \subseteq \R^2$ съществува линейна трансформация $F : \R^2 \rightarrow \R^2$ където $ker(F)\equiv U$
Функцията $ker(A)$ още позната като $null(A)$ обозначава подпространството на всички вектори $x$ които удовлетворяват $Ax=0$. Това пространство стриктно не е празното множество ( $x=0$ е очивиден елемент).

Ако вземем линейната трансформация $F : \R^n \rightarrow \R^n$ можем да докажем, че множеството $null(F)$ е наистина подпространство:
Нека:
$Fx_1=0, Fx_2=0 \Rightarrow x_1,x_2 \in null(F)$
$Fx_1 + Fx_2=0 \Rightarrow F(x_1+x_2)=0 \Rightarrow x_1+x_2 \in null(F)$

За някое число $k \in R$:

$kAx=0 \Rightarrow A(kx)=0 \Rightarrow kx \in null(A)$
$\Rightarrow null(A)$ наистина е подпространство на $\R^2$

Сега остава да докажем, че можем да генерираме всички възможни подпространства от кернела $ker(A)=null(A)$

Сега нека вземем $\Phi : \R^2 \rightarrow \R^2, \Phi = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Търсим $ker(\Phi) \Rightarrow$ всички $x$ за $ \Phi x=0$:

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0$


Можем да направим една бърза елиминация:

$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d-\frac{bc}{a} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0$

$ax_1+bx_2=(d-\frac{bc}{a})x_2$

$x_1=\bigg(\frac{ad-ab-bc}{a^2}\bigg)x_2$

$x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bigg(\frac{ad-ab-bc}{a^2}\bigg)x_2 \\ x_2 \end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix} \bigg(\frac{ad-ab-bc}{a^2}\bigg) \\ 1 \end{pmatrix}$

И така като нямаме рестрикции за $x_2$, всеки вектор такъв вектор $\in ker(\Phi)$

Можем да запишем $x=k\begin{pmatrix} \bigg(\frac{ad-ab-bc}{a^2}\bigg) \\ 1 \end{pmatrix}=k_2\begin{pmatrix} ad-ab-bc \\ a^2 \end{pmatrix}=k_3\begin{pmatrix} d-b \\ a \end{pmatrix}+k_4\begin{pmatrix} bc \\ a^2 \end{pmatrix}$.

$\Rightarrow ker(\Phi)=span\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} d-b \\ a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} bc \\ a^2 \end{bmatrix}\end{pmatrix}$

Знаем вече, че това е подпространство на $\R^2$. Но така като можем да изберем всички $a,b,c,d \in \R$ можем да генерираме цялото пространство $\R^2$.

Можем да изберем $c=0$

$ker(\Phi)=k_2\begin{pmatrix} a(d-b) \\ a^2 \end{pmatrix}$ което е пространството, от всички прави линии.

И накрая можем да изберем $a=0$

$ker(\Phi)=k_2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ което е пронстранството състоящо се от нулевия вектор.

И това са всички случаи.

[Davids]

Да предложа и алтернативно (по-сбито) доказателство, че $\forall \Phi \in Lin(\R^2, \R^2): ker(\Phi) \subseteq \R^2$.

$\forall x \in ker(\Phi):$
1) $\Phi(x) = \omicron \Rightarrow \omicron \in \ker(\Phi)$
2) $\forall y \in ker(\Phi): \Phi(x + y) = \Phi(x) + \Phi(y) = \omicron + \omicron = \omicron \Rightarrow (x + y) \in ker(\Phi)$
3) $\forall \lambda \in \R: \Phi(\lambda x) = \lambda\Phi(x) = \lambda\cdot\omicron = \omicron \Rightarrow (\lambda x) \in ker(\Phi)$

С това доказахме, че $\ker(\Phi) \subseteq \R^2$.

Бихме ли могли да произходим от тук с нещо по-генерално от посоченото от колегата Sup3rlum супер решение? Благодаря още веднъж

[kucheto]

Davids, нещо не си разбрал - има безбройно много едномерни линейни пространства - всяка права през центъра. Иначе множеството от всички прави през центъра е проективната права, което не е линейно пространство, а многообразие.

Това, че ядрото е подпространство (ако учиш във ФМИ, се използва символът $\leq$ за подпространство, а $\subseteq$ си е за подмножество), е основен линейно-алгебричен факт и е ненужно да се доказва.

По задачата - вместо $\mathbb{R}^{2}$ ще работя с произволно крайномерно $V$ (по-инструктивно е, а и тромавото доказателство на Sup3rlum не работи). Избираме $U'$ такова, че $V=U\oplus U'$ - тази процедура е еквивалентна с допълването до базис (когато в пространството е въведено скаларно произведение, може да вземем ортогоналното допълнение: $U':=U^{\perp}$ - това се учи на края на курса по линейна алгебра, но не е сложна материя). Тогава дефинираме линейния оператор $\Phi\colon V\to V,\ \Phi(u+u')=u'$ ($u\in U,\ u'\in U'$ и използваме, че всяко $v\in V$ има единствено представяне във вида $v=u+u'$). Очевидно е, че $\operatorname{Ker}\Phi=U,$ което и се търси.

Интересното в случая е, че $\Phi^{2}=\Phi$ и $\operatorname{Im}\Phi=U'.$ Оператори, за които $\Phi^{2}=\Phi$ се наричат проектори (като проектираш проекцията $\Phi(v)$, си оставаш във $\Phi(v),$ т.е. $\Phi^{2}(v)=\Phi(v)$, а оттам и термина "проектор"). Можеш да се упражниш (този път изискването $V$ да е крайномерно е излишно - произволно линейно пространство върши работа), че за проектори $V=\operatorname{Ker}\Phi\oplus\operatorname{Im}\Phi,$ което в горните означения е точно $V=U\oplus U'.$

За финал - не е нужно $\Phi$ да е проектор, ама така е най-лесно - като махнеш лирическите отклонения, доказателството е на един-два реда.

[Davids]

Благодаря за отговора!

Ясно ми е, че правите са безкрайно много. Имаш предвид, че не могат да се нотира множеството им с $\forall x \in \R^2 \exists U_x = \{tx | ~ t \in \R\}$? Ако да, защо?

Не уча във ФМИ, а в немски университет, и вярвай ми - да доказваме всяко елементарно очевидно свойство на каквото и да изучаваме, е до голяма степен повечето, което правим. Но си има и плюсове.

И това е в началото на обучението. За жалост повечето от написаното от теб ми е до голяма степен непонятно, но бих го разгледал с удоволствие.

Междувременно измислих коя може би била такавата линейна функция, която търся, но ще се включа по-късно.

[kucheto]

Така, де, всяка права си е отделно линейно подпространство, което се параметризира с един параметър (щото е едномерно). Ама не всички заедно. Затова твърдението "има 3 подпространства" е грешно - 3 са с точност до изоморфизъм е правилното (за $n$-мерно са $n+1$ - размерностите от $0$ до $n$).

Хубаво правите, че доказвате всичко, но че ядрото е подпространство е фундаментален факт, който би трябвало да се прави на лекции.

[Davids]

Така, де, всяка права си е отделно линейно подпространство, което се параметризира с един параметър (щото е едномерно). Ама не всички заедно. Затова твърдението "има 3 подпространства" е грешно - 3 са с точност до изоморфизъм е правилното (за $n$-мерно са $n+1$ - размерностите от $0$ до $n$).

Хубаво правите, че доказвате всичко, но че ядрото е подпространство е фундаментален факт, който би трябвало да се прави на лекции.

Точно, да. Само че и в скрипта така са го заявили - че са три, а едно било "подпространството на всички прави през нулата". Иначе го правим полу на лекции, полу на упражнения... И после сходни доказателства като това в задачата за домашна.

[kucheto]

Само че и в скрипта така са го заявили - че са три, а едно било "подпространството на всички прави през нулата".

Ако в скрипта пише такова нещо, лекторът е за сериозно мъмрене. Пак повтарям, множеството от всички прави през нулата е проективно пространство (не е линейно).

[Davids]

Ето го и включването за втория случай. Ако подпространството е права, а те са безкрайно много, т.е. $\forall x \in \R^2, U = \{tx | t \in R\} \exists y \in \R^2, y \notin U$ такова, че $\{x , y\}$ е базa на $\R^2$. Тогава всеки вектор $z \in \R^2$ може да бъде представен във вида $z = ax + by, a,b \in R$. Дефинираме линейната функция:
$\Phi: \R^2 \to \R^2, z = ax + by \mapsto {0 \choose b}$, която ще връща нулевия вектор само за вектори от вида $tx$, тъй като за тях $b$ е нула.

Записът би трябвало да е валиден, или?

[kucheto]

Вярно е това, което пишеш, въпеки че не ми харесва стилът на писане - имам предвид суматохата с кванторите. По-нормално е да се напише така: "Нека $U$ е едномерно. Тогава $U$ е от вида $\{tx\mid t\in\mathbb{R}\}$ за някой вектор $x\in\mathbb{R}^{2}.$ Избираме $y\notin U$ и тогава $\{x,y\}$ е базис на $\mathbb{R}^{2}$..."

Иначе ако дефинираш $\Phi$ чрез $\Phi(ax+by)=by$ получаваш моето докзателство. Разбира се, и твоето върши работа - ти си избрал $\Phi(ax+by)=b\mathbf{e}_{2},$ но и всеки избор от вида $\Phi(ax+by)=bz,$ $z\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{\mathbf{0}\},$ би вършил работа.

[Davids]

Така ги пишат тук всичките неща, така го бухам и аз... Гледам да свиквам с формалния език на математическо писане...

Има ли иначе нотация за два вектора, които са база на пространство? Например $\{e_1, e_2\} = base(\R^2) \Leftrightarrow span(e_1, e_2) = \R^2$ или нещо такова?

[kucheto]

Така ги пишат тук всичките неща, така го бухам и аз... Гледам да свиквам с формалния език на математическо писане...

Има ли иначе нотация за два вектора, които са база на пространство? Например $\{e_1, e_2\} = base(\R^2) \Leftrightarrow span(e_1, e_2) = \R^2$ или нещо такова?

Повечето първокурсници, като ги бомбардират на лекции с квантори, после и те бомбардират с тях асистентите си на домашни и контролни. Само че се получават логически напълно безсмислени текстове. Твоят има някакъв смисъл, но няма общо в задачата. Защото на теб $U$ ти е дадено и от него (когато си в случая да е едномерно подпространство) се избира базисен вектор $x$ (не е единствен, разбира се), а при теб първо е $x$ (дошло незнайно откъде) и от него дефинираш $U.$

После, когато пишеш "съществува $y,$ за което е изпълено свойството $P$", това е различно от "избрираме (свидетел) $y,$ за който е изпълено свойството $P$". За съжаление за разликата между "съществува" и "избираме свидетел" огромното болшинство от математиците пропускат да споделят (може би и не знаят). Професор Тинко Тинчев от катедра Логика на ФМИ доста държеше на нея и от него я знам. Тя е важна по 2 причини - първата е, че е възможно да ти се наложи да избираш 2 пъти - ще си кръстиш двата избрани свидетеля $y'$ и $y'',$ като всеки от тях поотделно ще "свидетелства", че съществува такова $y.$ Втората е, че като смесват съществуване с избиране на свидетел, много автори неявно използват аксиомата за избора. Дори и авторът да не е скептичен към нея (повечето не са, но аз съм), смятам, че е признак на уважение към читателя да се казва експлицитно, че се използва. Например в почти никой курс по Анализ няма да ти кажат, че Хайне$\Rightarrow$Коши и теоремата на Кантор за равномерната непрекъснатост използват слаби форми на аксиомата за избора.

Пиша тези работи, защото не ми харесва, че почти никъде студентите не се обучават как да пишат смислен текст (за което, може би, често вина имат лекторите, които също пишат логически безсмислени текстове) и си мислят, че като махнат думите и сложат квантори текстът става "по-математически". Истината е, че кванторите са логически символи, с които се пишат логически формули (свойства) по точно определени правила. Когато се разсъждава (прави се конструкция, доказва се някакво свойство), се използват думичките "нека", ""избираме", "дефинираме"... Има формализми за писане на доказателства, при които може напълно да се избегнат думички от естествения език (например $\lambda$-смятането позволява доказателство на езика Coq да се приведе в $\lambda$-терм, което си е почти като машинен код), но това е друга тема.

За нотацията за базис - и аз съм се чудил но не съм виждал. $\operatorname{span}$ е общоприета нотация за линейна обвивка, но не съм срещал нотация за линейна независимост, а оттам и за базис. Може да се използва еквивалентният факт, че даден краен брой вектори са линейно независими $\Leftrightarrow$ размерността на линейната им обвивка е равна на броя им. Ама най-често се казва думи "тези вектори са линейно независими" и "тези вектори образуват базис на (даденото) пространство".