Системи

[Гост]

Установете чрез детерминанта дали следната система от вектори е линейно зависима или независима (2,1,0), (0,-2,4) , (1,0,1). Ако може да ми покажете как става

[Sup3rlum]

Мога да ти кажа отговора, но ето едно кратко доказателство:

Ако $\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$ са линейно независими, можем да ги представим така:

$0=a\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

$0=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}$

За да си линейно независими, трите вектора трябва да можем да намерим уникално решение за $a,b,c \ne 0$ - това може да се случи само когато матрицата е обратима - а това само когато детерминантата не е 0.

$det\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & 1\end{pmatrix} = 0$ следователно матрицата е необратима, и уникално решение няма - векторите са зависими.