Да се докаже биекция

[Davids]

Нека $V$ е векторно пространство в $\R$ и $n \in \N$. Да се докаже, че функцията:
$\{B | B $ е подредена база на $V$ от $n$ вектора$\} \to \{\Phi: V \to \R^n | \Phi$ е изоморфизъм$\}, B \to (-)_B$ е биекция между две множества.

$(-) B$ е функцията, която изобразява всеки вектор от $V$ върху координатния му вектор от съответната база $B$

Съветът е да докажем биекцията чрез еднозначна обратна функция. Разбирам даденото, но ми накъсяват идеите откъде да започна... Идеи? Благодаря предварително!

[ptj]

Не следва ли директно от факта, че всеки вектор от [tex]V[/tex] се изразава по единствен начин чрез базата от [tex]n[/tex] вектора?

[Davids]

Не следва ли директно от факта, че всеки вектор от [tex]V[/tex] се изразава по единствен начин чрез базата от [tex]n[/tex] вектора?

Честно да ти кажа, не мога да се ориентирам... Искат да докажем, че връзката между всяка една база от $n$ вектора и координатната функция, която изразява всеки вектор от $V$ точно по един начин чрез базата, е биекция. Аз лично малко се губя в целите дефиниции и какво точно искат да докажем и какво можем да ползваме като дадено... какво се подразбира и какво не. Именно затова питах и за малко разяснение. Иначе да, доста е тривиално...

Аз лично бих имал няколко въпроса:
1) Ако $V$ е векторно пространство, изградено на база $B$ от $n$ вектора, това не означава ли, че $V$ е $n$-дименсионално векторно подпространство в $\R$, т.е. $V = \R^n$... или нещо бъркам? Защото втората функция е дефинирана като $\Phi: V \to \R^n$, което по моето разбиране са едно и също пространство...
2) Правилно ли разбирам, че функцията $\Phi$ прави следното нещо: $v \in V \mapsto Ax \in \R^n$, където:
a) $v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ .\\.\\.\\v_n \end{pmatrix}$;

b) $A = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{21} & ... & v_{n1} \\ v_{12} & v_{22} & ... & v_{n2} \\ . & .&...&.\\.&.&...&.\\.&.&...&.\\v_{1n} & v_{2n} & ... & v_{nn} \end{pmatrix} \in \R^{n \times n}$ е базисната матрица от базисните вектори в $B$;

c) $x = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ .\\.\\.\\\lambda_n \end{pmatrix} \in \R^n$;

и също $\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ .\\.\\.\\v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{21} & ... & v_{n1} \\ v_{12} & v_{22} & ... & v_{n2} \\ . & .&...&.\\.&.&...&.\\.&.&...&.\\v_{1n} & v_{2n} & ... & v_{nn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ .\\.\\.\\\lambda_n \end{pmatrix}$

Каква би била обратната функция на цялото чудовище в даденото тогава?

С други думи, как от функцията $\Phi: V \to \R^n, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ .\\.\\.\\v_n \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} v_{11} & v_{21} & ... & v_{n1} \\ v_{12} & v_{22} & ... & v_{n2} \\ . & .&...&.\\.&.&...&.\\.&.&...&.\\v_{1n} & v_{2n} & ... & v_{nn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ .\\.\\.\\\lambda_n \end{pmatrix}$ получаваме обратна функция, която да връща базата $B = \Bigg\{\begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \\ .\\.\\.\\v_{1n} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \\ .\\.\\.\\v_{2n} \end{pmatrix}, ..., \begin{pmatrix} v_{n1} \\ v_{n2} \\ .\\.\\.\\v_{nn} \end{pmatrix}\Bigg\}$?

[ptj]

Естествено обратната функция ще ти е зададедена с обратна матрица, която съществува, защото основната (на линейното преобразувание) е неизродена (базата е от линейнео независми вектори).

Обратното преобразувание е единствено, защото всяка неизродена матрица има единствена обратна.

[Davids]

Естествено обратната функция ще ти е зададедена с обратна матрица, която съществува, защото основната (на линейното преобразувание) е неизродена (базата е от линейнео независми вектори).

Обратното преобразувание е единствено, защото всяка неизродена матрица има единствена обратна.

На теория разбирам какво имаш предвид, макар и понятието "изродена" да ми е малко чуждо... Достатъчно тривиални ли са тези твърдения, за да служат като директно доказателство? Защото аз наистина не знам вече какво се подразбира и какво не... Дали би могъл да разпишеш накратко твърдението на математически език, ако е възможно с въведените от мен дефиниции, че да мога да се ориентирам.. ще си ми от голяма помощ! Благодаря отново!

[ptj]

Отдавна съм далеч от линейната алгебра, но според мен трабва да направиш точно това, за което писах.

1.)Въведи обратна функция, зададена чрез обратната матрица на линейното преобразувание.
2.) Покажи, че тя връща образа в изходния вектор.
3.) Допусни, че има друго обратно преобразувание и докажи, че то съвпада от това в 1,)
Използвай, че всяка квадрата матрица с ненулева дискриманата (неизродена) има единствена обратна.

[drago]

Трябва първо да си изясните за какво бъобще говорите. $B$ са всевъзможните подредени бази от вектори във $V$. На всяка такава баз съпоставяме една функция (която всъщност е линеен оператор). Тя е дефинирана като на всеки вектор $v\in V$ съпоставяме набора от координати на $v$ относно базата $B$. T.e на обектите "бази" съпоставяме обектите "функции".
Нека $B=(v_1,v_2,\dots,v_n)$ ($V$ е $n$ мерно) и нека $L(B)$ e функцията, която на всяко $v\in V$ съпоставя координатите му относно респ. $v_1,v_2,\dots,v_n$. Това е един линеен оператор(лесно се проверява) $V\to \mathbb{R}^n $. забележете, че $L$ еднозначно се определя от това къде отиват съответно $v_1,v_2,\dots,v_n$. В нашия случай ()
$$v_i\to (0,0,\dots,1,0,\dots,0)\,,\,i=1,2,\dots,n\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1)$$
където $1$ е на $i$-тото място подред.
Равенствате $(1)$ еднозначно определят $L$ значи $B\to L(B)$ е инекция, на $(v_1,\dots,v_n)$ съпоставяме линейния оператор определен от равенствата $(1)$. На разлини набори $(v_1,v_2,\dots,v_n$ съпоставя различни оператори. Това е очевидно. Сега трябва да докажем, че всеки линеен оператор $L: V\to \mathbb{R}^n$, който е биекция (условието казва, че $L$ трябва да е изоморфизъм) има някакъв набор (база) $B=(v_1,v_2,\dots,v_n)$, която го поражда, т.е. $\phi(B)=L$. Ами, тъй като $L$ е изоморфизъм, нека дефинираме
$$v_i := L^{-1}(0,0,\dots,0,1,0,\dots,0), i=1,2,\dots,n$$
($1$-цата е на $i$-то място). Лесно се доказва, че $v_i$ са независими (тъй като $L$ е обратим (изоморфизъм)) Това е. По дефинициа $\phi $ съпоставя на $(v_1,v_2,\dots,v_n)$ линейния оператор $L$.

[grav]

Това може да се докаже по много начини, но мисля, че опътването е следното. За да се докаже, че дадено изображение [tex]f:X\rightarrow Y[/tex] е биекция е достатъчно да се немери изображение [tex]g:Y\rightarrow X[/tex], такова че [tex]f\circ g = \text{Id}_Y[/tex] и [tex]g\circ f = \text{Id}_X[/tex].

[Davids]

Това може да се докаже по много начини, но мисля, че опътването е следното. За да се докаже, че дадено изображение [tex]f:X\rightarrow Y[/tex] е биекция е достатъчно да се немери изображение [tex]g:Y\rightarrow X[/tex], такова че [tex]f\circ g = \text{Id}_Y[/tex] и [tex]g\circ f = \text{Id}_X[/tex].

Точно така подходихме и ние, но не можахме да зададем точната инструкция за обратната функция... Само доказахме, че я има. Получихме съответно 3/10 точки.

[Гост]

Това може да се докаже по много начини, но мисля, че опътването е следното.

Манията на бъркането на "о" с "у" и обратно продължава...

[grav]

Това може да се докаже по много начини, но мисля, че опътването е следното.

Манията на бъркането на "о" с "у" и обратно продължава...

Извинявам се, да се чете опътванету.

[drago]

Всъщност, не съм обърнал внимание, че трябва да се докаже, $\phi$ е биекция - по моите означения, (а не само инекция) м/у всевъжможните бази и изоморфизмите $V\to\mathbb{R}^n$. Последните всщност, по-просто казано, са всички линейни оператори $V\to\mathbb{R}^n$ с ранг $n$. Коригирах си поста.
Всъщност, тази задача е малко за абстракто мислене, не толкова за някакви технически неща и засукани сметки. Всичко става почти само по дефиниции.

[ptj]

След като може да се определи взаимноеднозначно съответствие между множеството на линейните оператори от ред и ранг равни на [tex]n[/tex] и квадратните неизродени матрици от ред [tex]n[/tex], посредством матрицата на прехода от една база към друга, то от факта, че за всяка квадратна неизродена матрица съществува единствена обратна, директно следва исканото твърдение.

------------------------------------------------
Всъщност неизродените матрици от ред [tex]n[/tex] са асоциативна група с единица (относно умножението), а от съществуването на биекция между множеството на линейните оператори и тях, следва че множеството на линейните оператори (с размерност и ранг равни на [tex]n[/tex]) също е асоциативна група с единица. Има си теорема казваща, че в подобна група за всеки елемент съществува единствен обратен (едновременно ляв и десен) , което е индентично с исканото за доказателство твърдение.

[drago]

След като може да се определи взаимноеднозначно съответствие между множеството на линейните оператори от ред и ранг равни на [tex]n[/tex] и квадратните неизродени матрици от ред [tex]n[/tex], посредством матрицата на прехода от една база към друга...

Това съотвествие няма нищо общо с матрица на прехода от база към друга база. Това съотвествие става като се въведе една фиксирана база от вектори $e_1,e_2,\dots,e_n$ и на всеки такъв оператор $L$ се съпостави матрицата определена от векторите $L(e_i), i=1,2,\dots,n$ разписани по координатите си в базата $e_1,e_2,\dots,e_n$.

Виж, имаш едни обекти, имаш и други обекти. Посочваш точно каква е биекцията и не говориш общи лафове. Така се правят нещата.

[ptj]

Какви общи приказки?
Ако [tex]\vec{e}[/tex] и [tex]\vec{e}'[/tex] са съответно два базиса (бази) на [tex]V[/tex] и [tex]B[/tex], а [tex]T[/tex] е матрицата на прехода м/у тях [tex](\vec{e'}=\vec{e}.T)[/tex].

Задава ли тогава формулата [tex]\vec{x}=T.\vec{x'} \Leftrightarrow {x'}=T^{-1}.\vec{x}[/tex] връзката между координатите на един и същ вектор в двете векторни пространства (съответно дадените базиси)?

След като матрицата [tex]Т[/tex] е единствена, може ли тя да се съпостави на съответния линеен оператор или не?

От това съответствие следва ли, че всеки линеен оператор има единствен обратен или не?...

[drago]

...След като матрицата [tex]Т[/tex] е единствена, може ли тя да се съпостави на съответния линеен оператор или не?
От това съответствие следва ли, че всеки линеен оператор има единствен обратен или не?...

1) На кой съответен линеен оператор да се съпостави? 2) Какъвто и да е отговора на 1), какво общо има това със търсената биекция в задачата. Пак казвам, че не схващаш точно какво се иска. Имаш три принципни обекта. 1) Фамилията $\mathcal{B}$ от всички наредени набори вектори $(v_1,\dots,v_n)$, които образуват бази в $n$-мерното векторно пространство $V$. 2) Фамилия $\mathcal{L}$ от всички линейни оператори $L : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ с ранг $n$. 3) Дадена е една функция $\phi : \mathcal{B}\to \mathcal{L}$, която е описано какво прави.

Ти се опитваш да пробуташ някакъв линеен оператор, който играе роля за смяна на базис, в ролята на 3). Всъщност това, което трябва да направиш е да обясниш защо 3) е биекция!
Ясно артикулиране, не мазане!

[ptj]

Явно не разбираш едно малко по-нестандартно доказателство.

Написаното от мен доказва първата част на исканото, а втората част е очевидна, защото всеки вектор се изразява по единствен начин чрез фиксирана база.

П.П. Няма никаква нужда от описване на линейния оператор по начина, който си предложил. За всеки две бази има един единствен линеен оператор преобразуващ едната в другата, а всеки линеен оператор с ранг [tex]n[/tex] запазва размерността на пространството, т.е. преобразува база в база.


Единствената ми грешка е в записа на базите, защото те не са вектор, a съвкупност от [tex]n[/tex] линейно независими вектора, но това не променя принципа на доказателството.