Да се докаже единственост на хомоморфизъм

[Davids]

Множеството $\Z/3\Z \times \Z/4\Z$ заедно с компонентното събиране и умножение, нулевия елемент $([0], [0])$ и неутралния по умножение елемент $([1], [1])$ е пръстен.

Да се докаже, че съществува единствен пръстенов хомоморфизъм $\phi: \Z/3\Z \times \Z/4\Z \to \Z/12\Z$ и че той е дори изоморфизъм.

Стигнахме до заключението, че подходящата дефиниция за $\phi$ би могла да бъде $\phi([a], [b]) = [a] \cap [b]$, но с доказателствата хич не сме напреднали... Идеи?

[vezni]

[tex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex] е изоморфен на [tex]\mathbb{Z}/p_1^{\alpha_1}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p_2^{\alpha_2}\mathbb{Z}\times\dots\times \mathbb{Z}/p_k^{\alpha_k}\mathbb{Z}[/tex], където [tex]n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}[/tex] е каноничното разлагане на [tex]n[/tex]. Това е добре известен факт. Можеш да потърсиш доказателството в общия случай и да го пригодиш за конкретните числа.

[drago]

Това се нарича Китайска теорема за остатъците. Ако $n_1,n_2,\dots,n_k$ са взаимно прости естествени числа, по-големи от $1$ и $N=n_1n_2\cdots n_k$ то:
$${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /n_{k}\mathbb {Z} }$$