Да се докаже, че вектори са в афинна равнина

[Davids]

Нека $\mathbb K$ е тяло и $a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}, d = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} \in \mathbb K^3$

Да се докаже, че $a, b, c, d$ лежат в афинна равнина точно тогава, когато $det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3& c_3 & d_3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 0$.

Страдам от много тежък синдром на неразбиране на основното значение на детерминантата на съответната матрица и какво означава тя. Това, което ми хрумна така или иначе от простите ми сметачески техники, беше да умножа последния ред по съответно $a_1, a_2, a_3$ и да го извадя от съответно първия, втория и третия ред, с което да получа:

$A = \begin{pmatrix} 0 & b_1 - a_1 & c_1 - a_1 & d_1 - a_1 \\ 0 & b_2 - a_2 & c_2 - a_2 & d_2 - a_2 \\ 0 & b_3 - a_3 & c_3 - a_3 & d_3 - a_3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ и с едно разложение по Лаплас получаваме $detA = -det\begin{pmatrix} b_1 - a_1 & c_1 - a_1 & d_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 & c_2 - a_2 & d_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 & c_3 - a_3 & d_3 - a_3 \end{pmatrix}$, което обаче става страшна грозотия... Едно бързо разяснение по задачата би било високо оценено, готов съм да попивам.

[KOPMOPAH]

Без въобще да разбирам за какво точно говориш в конкретната задача , мога да изкажа общоизвестното съображение, че една детерминанта е равна на $0$, когато един ред или колона е линейна комбинация на други - съответно редове или колони.

[ptj]

"То момчето хубаво свири, ама не може да започва..."

И защо не избра да вадиш 4-тия стълб от останалите 3 за да получиш


$0 = det\begin{pmatrix}a_1 - d_1 & b_1 - d_1 & c_1 - d_1 \\ a_2 - d_2 & b_2 - d_2 & c_2 - d_2 \\ a_3 - d_3 & b_3 - d_3 & c_3 - d_3 \end{pmatrix}$

Вектор стълбовете са ти линейно зависими - записваш го с равенство и прехвърляш [tex]d[/tex]-та от другата страна. Ще получиш вектор [tex]\vec d[/tex] като линейна комбинация на [tex]\vec a, \vec b, \vec c[/tex]

[Davids]

"То момчето хубаво свири, ама не може да започва..."

И защо не избра да вадиш 4-тия стълб от останалите 3 за да получиш


$0 = det\begin{pmatrix}a_1 - d_1 & b_1 - d_1 & c_1 - d_1 \\ a_2 - d_2 & b_2 - d_2 & c_2 - d_2 \\ a_3 - d_3 & b_3 - d_3 & c_3 - d_3 \end{pmatrix}$

Вектор стълбовете са ти линейно зависими - записваш го с равенство и прехвърляш [tex]d[/tex]-та от другата страна. Ще получиш вектор [tex]\vec d[/tex] като линейна комбинация на [tex]\vec a, \vec b, \vec c[/tex]

Когато един от четири триизмерни вектора е линейно зависим от другите три, това не означава ли отново само, че четирите са в едно триизмерно пространство, което така или иначе беше ясно... Не трябва ли да докажем, че два от четирите са линейна комбинация от другите два, за да имаме дефинирана само една равнина от съответните базисни два, в която и другите два се намират? Само това ми остана да поразбера, иначе сме окей.

[ptj]

Имаш теорема, че смесеното произведение на три вектора е 0, точно когато те са компланарни.
В случая векторите определени от 3 от страните на тялото (съдържащи и 4-те върха) са ти компланарни.

-------------------------------------
Понеже не разбрах какво е дадено с [tex]a,b,c[/tex] : страни или върхове на тялото, то
- при върхове са в сила горните разсъждения
- при страни ще получиш за 3 от диагоналите, че лежат в една равнина, т.е. отново върховете са в една равнина.

[Davids]

Имаш теорема, че смесеното произведение на три вектора е 0, точно когато те са компланарни.
В случая векторите определени от 3 от страните на тялото (съдържащи и 4-те върха) са ти компланарни.

Това не ми стана съвсем ясно. Имаме, че векторите $a - d, b - d, c - d$ са линейно зависими (по-точно поне един от тях може да се представи като линейна комбинация от другите два), следователно лежат най-малкото в една равниина (ако не на една права или в една точка). Как обаче от това следва, че $a, b, c, d$ като отделни вектори споделят същото свойство?

Това, което ме посъветва по-горе, аз разбирам така:
Записваме $\lambda_1 (a - d) + \lambda_2(b - d) + \lambda_3(c-d) = 0$ има нетривиални решения, т.е. можем да представим $d = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}a + \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}b + \frac{\lambda_3}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}c$ (знаейки, че съществуват такива $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$.

Но отново, с какво ни помага това? Не стигаме ли само отново до факта, че четирите вектора са в едно триизмерно пространство (което така или иначе е ясно, защото са триизмерни вектори...). Взех да се чувствам яко тъп, ще се радвам да го разбера най-накрая.

Понеже не разбрах какво е дадено с [tex]a,b,c[/tex] : страни или върхове на тялото, то
- при върхове са в сила горните разсъждения
- при страни ще получиш за 3 от диагоналите, че лежат в една равнина, т.е. отново върховете са в една равнина.

И аз стигнах до извода, че задачата е зададена двузначно: векторите като върхове или като страни ги разглеждаме...? Не знам и аз, но от контекства ми се струва по-логично, да ги разглеждаме като върхове (като ще им доказваме компланарността). А за смесения продукт схемата е ясна, но отново... другаде пропускам да навържа нещата.

P.S. Май усетих къде се забърквам... В единия случай си мисля за лъчи, в другия - за точки. Ако имаме три вектора, те не са ли винаги компланарни (като върхове), понеже три точки дефинират равнина? В другия контекст обаче знам, че равнина се дефинира от два вектора (обаче като лъчи, не като точки....). Кое е правилното разбиране?

[ptj]

https://debian.fmi.uni-sofia.bg/study/materials/ag/lectures/10.%20%D0%A1%D0%BC%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%B4%D0%B2%D0%B0%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0.pdf

[Sup3rlum]

Геомтричната идеята на детерминантата е, че дава $n$-измерния обем на фигурата (успоредник или наклонен паралелепипед в съответно две или три измерения) описана от колонното пространство на матрицата. Ако един от колонните вектори е зависим от останалите, т.е е във векторното пространство на останалите вектори, това намаля измерението на описаната фигура на $n-1$, и следователно $n$-измерния обем на 0.

Както каза, 3 вектора като точки, или върхове на фигура винаги описват точно една равнина (стига $det|e_1, e_2,... e_n| \ne 0$ ), сравнително ясно защо - 3 точки - 3 върха - тръигълник - 2 вектора като страни - по дефиниция са комплнарни. Когато имаш четери точки, идеята е да си избереш една и да разгледаш векторите които образуват страни започващи от нея и завършващи съответно в останлите точки. Това си направил практически като си свел до:

$det \begin{pmatrix} b_1 -a_1 & c_1-a_1 & d_1 - a_1 \\ b_2 -a_2 & c_2-a_2 & d_2 - a_2 \\ b_3 -a_3 & c_3-a_3 & d_3 - a_3 \end{pmatrix} = 0$

Това е цялата идея на задачата. Сега колонното пространство на матрицата представлява 3 вектора започващи от $a$ в посоки $b-a, c-a, d-a$. Ако тези три вектора като страни лежат в една афинна равнина, тази равнина минава през $O$ на съответното векторното пространство, следователно $a$ лежи на равнината на останлите $b,c,d$. За да може тези три вектора като страни да лежат на една афинна равнина, (поне) един от тях трябва да е линейно зависим от останлите два по дефиниция, което също по дефиниция ни дава детерминанта 0.

В случай, че $b-a=\lambda (c-a) = \mu (d-a)$ т.е са на една една права, за всяко $a$ имаш афинна ранина от $a,b,c,d$

ПС. Тривиално ако $b-a, c-a, d-a$ са линейно зависим - $b,c,d$ са също линейно зависими

ПС.2 Ако не се лъжа, нулева детерминанта и непълен ранк е биекция

[Davids]

Добре, понеже така и така доказуемото е факт, нека го преведем на числов език и да оставим сметките да говорят (това се опитвам аз). Съчинения и определния все уж ги схващам, но искам по черно на бяло начин да достигна до твърдението. Четири триизмерни вектора са компланарни, когато имат поне по една равна компонента, нали? Нека $i \in \{1, 2, 3\}$, т.е. тогава искаме $\begin{pmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} d_i \\ d_i \\ d_i \end{pmatrix} = 0$. Можем ли да изведем такова заключение от дадената нулева детерминанта? Това ми е настоящата идея, после ще погледна отново текстописанията.

[Davids]

ПС. Тривиално ако $b-a, c-a, d-a$ са линейно зависим - $b,c,d$ са също линейно зависими

Колко тривиално е това, опитвам се да го докажа цял следобед.

[ptj]

Dаvids,

Четеш през пръсти.
Вече ти го обясниха - ако имаш три компланарни вектора, то 4-те точки определящи техните начало и краища са в същата равнина ( като векторите).

Тогава произволен вектор, яваващ се линейна комбинация на вектори с начала и краища измежду горните 4 точки, принадлежи на вече споменатата равнина.
В частност и страните на тялото ти.

[Гост]

Има четири точки, a,b,c,d в тримерие, зададени с координати. Трябва да се докаже, че съществува двумерно линейно многообразие (равнина) p+U, което ги съдържа, тогава и само тогава, когато някаква детерминанта е нула. Правилно е сведена дадената детермината до детерминанта, чиито стълбове са векторите b-a, c-a, d-a.
Какво е условието точките a,b,c,d да лежат в равнината p+U? Отг. да съществуват вектори u,v,w,t oт двумерното пространство U, така, че a=p+u, b=p+v, c=p+w, d=p+t. Оттук $b-a=v-u\in U$, $c-a=w-u\in U$, $d-a=t-u\in U$. Тъй като U е двумерно подпространство, трите вектора b-a, c-a, d-a от това пространство задължително са линейно зависими (докажете). Прилагайки НДУ за линейна зависимост на вектори, зададени с координати, се получава верността на твърдението.