Задачи от изпит по алгебра

[РадоРадо]

Здравейте,
понеже не можах да намеря решение на задачите от по-долу, ще ви помоля да дадете напътствия за това как се решават.
http://www.fmi.uni-sofia.bg/algebra/exa ... an2008.pdf - без 3та задача, тя няма да се пада повече
Благодаря предварително.

[veliko]

Задачите, които катедра "Алгебра" дава на изпитите във ФМИ са или буквално същите или модифицирани от сборниците :
-"Задачи по алгебра : Линейна алгебра"
-"Задачи по алгебра: Групи, пръстени и полиноми"
Погледни за тези задачи там, сигурен съм че поне 2ра я има (имам спомен че съм я решавал)

Успех!

[nikko]

2 зад. Имаш според стандартния базис
[tex]a=(0,\,1,\,-2)[/tex]
[tex]b=(1,\,-1,\,2)[/tex] и имаме
[tex](a,\,e_1)=(0, 1, -2).(1, 0, 0)=0[/tex]
[tex](a,\,e_2)=(0, 1, -2).(0, 1, 0)=1[/tex]
[tex](a,\,e_3)=(0,1, -2).(0, 0, 1)=-2[/tex]
[tex](b,\,e_1)=(1, -1, 0).(1, 0, 0)=1[/tex]
[tex](b,\,e_2)=(1, -1, 0).(0, 1, 0)=-1[/tex]
[tex](b,\,e_3)=(1, -1, 0).(0, 0, 1)=0[/tex]
Тези скаларни произведения ни трябват за множителите.
Остава да намериш като линейна конбинация на [tex]e_1,\,e_2,\,e_3[/tex] на следните образи
[tex]\varphi(e_1)=\ \dots[/tex]
[tex]\varphi(e_2)=\ \dots[/tex]
[tex]\varphi(e_3)=\ \dots[/tex]
и след като образите на базисните вектори зависят линейно от базиса, то изображението [tex]\varphi[/tex] е линейно.
Матрицата A му намираш като запишеш образите на базисните вектори в стълбове. Матрицата, която ще получиш е антисиметрична и съответно [tex]\varphi^2[/tex] има симетрична матрица [tex]B=A^2[/tex], т.е. е симетричен оператор.
б) Сметки сметки сметки. Собствени стойности на B са 0, -9, -9. Намираш ортонормиран базис от собствени вектори и пораждаш матрицата на прехода T. Тогава [tex]D=T^TBT[/tex] и [tex]A^2=B=T\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&-9&0\\0&0&-9\end{array}\right)T^T[/tex]
Накрая [tex]A^{2009}=A.(A^2)^{1004}=A.\left(T\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&-9&0\\0&0&-9\end{array}\right)T^T\right)^{1004}[/tex], но T е ортогонална, т.е. [tex]T.T^T=E[/tex]. Получаваш [tex]A^{2009}=A.(A^2)^{1004}=A.TD^{1004}T^T=A.T\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&(-9)^{1004}&0\\0&0&(-9)^{1004}\end{array}\right)T^T=[/tex]
[tex]=-3^{2006}A.T\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&-9&0\\0&0&-9\end{array}\right)T^T=-3^{2006}A.B=-3^{2006}(-9).A=3^{2008}A[/tex]

[РадоРадо]

Благодаря и аз стигнах до този резултат.
Макар и с неистови усилия и четене на теория от 10 различни източника, разбрах как се решават този вид задачи - най-интересното е, че асистентките ни никога не са показвали как се решават тези задачи с по-високите степени (2009,2008 и т.н.)

Някакви идеи по 1вата задача ?

Иначе наистина задачите се повтарят и ги дават от сборника на Сидеров, но подготовката ни нещо куца. ( пак тези асистентки .. )
Решаваме 1 вид задачи, дават друг вид и накрая все има увиснали хора от това.

[ganka simeonova]

Иначе наистина задачите се повтарят и ги дават от сборника на Сидеров, но подготовката ни нещо куца. ( пак тези асистентки .. )
Решаваме 1 вид задачи, дават друг вид и накрая все има увиснали хора от това.

Много ми е интересно това мнение. Решават един вид, дават друг..

[indy]

Ми това си е за възмущение. Трябва да се решават само и точно задачите, които ще се дадат на контролното. По няколко пъти (най-добре). Ама няма ред в този факултет!

[РадоРадо]

Иначе наистина задачите се повтарят и ги дават от сборника на Сидеров, но подготовката ни нещо куца. ( пак тези асистентки .. )
Решаваме 1 вид задачи, дават друг вид и накрая все има увиснали хора от това.

Много ми е интересно това мнение. Решават един вид, дават друг..

Еми да цитирам 1 от асистентките :

-Може ли да решим някоя обратна матрица nxn
-Еми то не остава много време. Абе най-добре си ги вижте от сборника.

Идва контролното, 2ра задача - обратна матрица nxn.
Брой хора решили я - < 7 от поток 100 човека.
Друго - решаваме евклидови пространства 2 седмици подред, на контролното - няма такова нещо ..
В четвъртък бяха последните упражнения на 1 от групите ( другата седмица във 2ник е писмения ) и чак тогава взеха симетричен оператор и се решаваха такива задачи.
На писмения 100% има симетричен оператор.
Просто да обичаш ФМИ

[nikko]

Първата задача е и лесна и трудна. По-лесни са ранговете, т.к. е стандартно решение. Малко по-трудно е представянето на вектора (1,1,...,1) по базиса.
Първо ранговете. Разглеждаш няколко случая:
I. [tex]\lambda=\mu=0[/tex] матрицата е нулева => ранг 0;
II. [tex]\lambda=0,\ \mu\neq 0[/tex]. В този случай първи ред и последен стълб са нули, както и втория диагонал. В този случай рангът е n-1, т.к. минора получен от 2,3,...,n-ти ред и 1,2,...,n-1 стълб е
[tex]\begin{array}{|cccccc|}
\mu&\mu&\mu&\dots&\mu&0\\
\mu&\mu&\mu&\dots&0&\mu\\
\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\
\mu&0&\mu&\dots&\mu&\mu\\
0&\mu&\mu&\dots&\mu&\mu
\end{array}[/tex] първи ред *(-1) към всички останали [tex]\begin{array}{|cccccc|}
\mu&\mu&\mu&\dots&\mu&0\\
0&0&0&\dots&-\mu&\mu\\
\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\
0&-\mu&0&\dots&0&\mu\\
-\mu&0&0&\dots&0&\mu
\end{array}[/tex] 1,2,...,n-1 стълб към последния, като в първи ред и n-ти стълб има [tex]\mu+\mu+\dots+\mu=(n-1)\mu=A[/tex]
[tex]\begin{array}{|cccccc|}
\mu&\mu&\mu&\dots&\mu&A\\
0&0&0&\dots&-\mu&0\\
\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\
0&-\mu&0&\dots&0&0\\
-\mu&0&0&\dots&0&0
\end{array}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)\mu(-\mu)^{n-1}=(-1)^{\frac{(n+2)(n-1)}{2}}(n-1)\mu^n\neq 0[/tex];
III. [tex]\lambda\neq0,\,\mu=0[/tex]. В този случай рангът е 2, т.к. имаш ненулев минор от втори ред, който се получава като избереш 1,2 ред и n-1,n-ти стълб. Този минор в [tex]\begin{array}{|cc|}\lambda&0\\0&\lambda\end{array}=\lambda^2\neq0[/tex], а всеки минор от трети ред е нулев, т.к. има два еднакви реда -- [tex](0,0,\dots,\lambda)[/tex];
IV. [tex]\lambda\neq0,\,\mu\neq0[/tex]. В този случай рангът е n, т.к. детерминантата от координатите на векторите е ненулева. Наистина
[tex]\begin{array}{|cccccc|}
\lambda&\lambda&\lambda&\dots&\lambda&0\\
\mu&\mu&\mu&\dots&0&\lambda\\
\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\
\mu&0&\mu&\dots&\mu&\lambda\\
0&\mu&\mu&\dots&\mu&\lambda
\end{array}[/tex] изваждаш множители [tex]\lambda[/tex] от първи ред и последен стълб, умножаваш първи ред с [tex]-\mu[/tex] и прибавяш към всички други редове. След това 1,2,...,n-1 -стълб, умножени с [tex]\frac{1}{\mu}[/tex] прибавяш към последния и детерминантата е равна на [tex](-1)^{\frac{(n+2)(n-1)}{2}}(n-1)\lambda^2\mu^{n-2}\neq 0[/tex]
Понеже векторите са n на брой, то те са базис тогава и само тогава, когато са линейно независими, т.е. тогава и само тогава, когато рангът на системата е n, т.е. когато [tex]\lambda\neq0,\,\mu\neq0[/tex].
Нека [tex]b=\sum\limits_{i=1}^{n}{\lambda_ia_i}[/tex] и се стига до нехомогенна система n уравнения с n неизвестни с разширена матрица [tex]\left(\begin{array}{cccccc|c}
\lambda&\mu&\mu&\dots&\mu&0&1\\
\lambda&\mu&\mu&\dots&0&\mu&1\\
\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\\
\lambda&0&\mu&\dots&\mu&\mu&1\\
0&\lambda&\lambda&\dots&\lambda&\lambda&1
\end{array}\right)[/tex]
Първо е ясно, че системата има единствено и ненулево решение. Освен това системата не се изменя, ако сменим местата на две от неизвестните [tex]\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n[/tex]. При тази смяна се сменят местата на два от стълбовете 2,...,n, но последното уравнение се запазва, а ако сме сменили i-то с j-то неизвестно, т.е.
i-ти с j-ти стълб, то просто сменяме и i-то с j-то уравнение и пак получаваме същата разширена матрица. Това показва, че [tex]\lambda_2=\lambda_3=\dots=\lambda_n[/tex]
Тогава от последното равенствто се получава [tex]\sum\limits_{i=2}^{n}{\lambda\lambda_i}=\lambda\sum\limits_{i=2}^{n}{\lambda_i}=(n-1)\lambda\lambda_2=1[/tex] или [tex]\lambda_2=\lambda_3=\dots=\lambda_n=\frac{1}{\lambda(n-1)}[/tex].
Остава да намери [tex]\lambda_1[/tex] и да се проверят, че тези ламбди наистина са решенията на тази система.

[tsuki114]

Не мога да разбера защо на 2-ра задача правим скаларните произведения?

[nikko]

Според условието
[tex]\varphi(x) = (a, x)b-(b, x)a[/tex] и аз това [tex](a, x)[/tex] логично го тълкувам като скаларно произведение.
Ако в университета ви предават нещо друго с това означение, може и друго да означава, но странно като се използва скаларно произведение всичко е ОК, дори оператора се получава корен квадратен от симетричен

[tsuki114]

Ясно.