Докажете еднаквостта на уравненията

[ammornil]

Задачата сигурно е елементарна но не виждам точното решение. Условието е: ако уравненията [tex]a.x+b.y=c[/tex] и [tex]a.x+d.y=e[/tex] имат общ набор от решения, такъв, че всяка наредена двойка (х;у), която е решение на едното уравнение е решение и на другото, и е известно, че [tex](a;b;c;d;e)\in N[/tex], докажете че това е едно и също уравнение. От геометрична гледна точка, ако всички точки от една права са точки и на друга права, то двете прави съвпадат. Но задачата е в раздел "Метод на Гаус за решаване на системи линейни уравнения", а аз не мога да докажа чрез краен брой елементарни операции, че b=d и c=e. Моля ако някой може да помогне, задачата е за самоподготовка, но много бих искал да разбера идеята.

[allier]

Твърдението, както си го написал/а, не е вярно. Например,

x+y=5
2x+2y=10, имат едни и същи решения, и са еквивалентни, само че коефициентите им не са равни. Вярното твърдение е, че коефициентите им трябва да са пропорционални, т.е. че 2/1=2/1=10/5. Това вече се доказва лесно - изрази y чрез x от първото уравнение и замести във второто. Ще получиш нещо от сорта на коефициент умножен по x = друг коефициент. За да имат едни и същи набори решения, е нужно и двата коефициента в полученото равенство да са нули. Оттам ще получиш, че коефициентите са пропорционални.

[ammornil]

благодаря!

[ptj]

Ами явно спиш и не гледаш внимателно условието. Извади от първото второто уравнение и веднага ще получиш това, което искаш.

П.П. Трябва да съобразиш също, че първото уравнение има безброй много двойки решения, т.е. не е задължително "y" да е фиксирано число.

П.П.Метод на Гаус не беше ли с детерминанти? Просто замести и виж какво се получава. Иначе казано кога системата е неопределена.