UASG - doc.Simeonov (kofti trypka)

[A.Boqrov]

1задача

2 1 1 -1
2 1 2 -1
0 a 1 0
-2 -1 0 1 намерете ранга на матрицата в зависимост от параметъра а.

2зад Ако А е симетрична матрица, докажете че собствените и числа л1 и л2 са реални.

3зад. 1 1 -1 2
а 1 1 1
1 -1 3 -3
4 2 0 а да се намери ранга в зависимост от параметъра а.

4зад
ax + (2a-1)y + (a+2)z=1
(a-1)y + (a-3)z=1+a
ax + (3a-2)y + (3a+1)z = 2-a

5зад. Ако А е обратима 2х2 матрица със собствени числа л1 и л1, докажете че собствените числа на А^-1 са 1/л1 , 1/л2

6зад. lx + y + 4z =0
3x+2y+5z=0
5x+(l+1)y+(4l+1)=0 за кои стойности на параметъра l хомогенната система има ненулеви решения.

Ако някой може и има желание нека помогне ще бъде много полезен на 70% от първи курс:)

[martin123456]

5
обратима [tex]\Leftrightarrow \det A \ne 0 \Leftrightarrow D=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}[/tex]
собствените стойности на [tex]A[/tex] са решеният на [tex]\det (A-xE)=0 \Leftrightarrow (a_{11}-x)(a_{22}-x)-a_{12}a_{21}=0[/tex]. Последното е едно квадратно уравнение с коефициенти [tex]a=1[/tex], [tex]b=-a_{11}-a_{22}[/tex], [tex]c=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}[/tex].(1)
за 2x2 матрица лесно пресмятаме че [tex]A^{-1}=\frac{1}{D}\left( {\begin{array}{cc} a_{22} & -a_{21} \\ -a_{12} & a_{11} \\ \end{array} } \right)[/tex].
характеристичният полином е [tex]\det (A^{-1}-E)=(\frac{a_{22}}{D}-x)(\frac{a_{11}}{D}-x)-\frac{a_{21}a_{12}}{D^2}[/tex], което е квадратно уравнение с коефициенти [tex]a=1[/tex], [tex]b=-\frac{a_{22}+a_{11}}{D}[/tex], [tex]c=\frac{a_{22}a_{11}-a_{21}a_{12}}{D^2}[/tex].(2)

сега си задаваме ? кога корените на едно квадратно уравнение взети реципрочно са корени на друго
да разгледаме [tex]a_1x^2+b_1x+c_1=0[/tex], за него [tex]x_1+x_2=-\frac{b_1}{a_1}[/tex], [tex]x_1x_2=\frac{c_1}{a_1}[/tex]. искаме да видим кое уравнение има корени [tex]\frac{1}{x_1}[/tex] и [tex]\frac{1}{x_2}[/tex]. за него ще е изпълнено [tex]-\frac{b_2}{a_2}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{b_1}{c_1}[/tex] и [tex]\frac{c_2}{a_2}=\frac{1}{x_1}\frac{1}{x_2}=\frac{a_1}{c_1}[/tex].

като вземем предвид (1) получаваме че уравнението, което има негоивите реципрочни корени има [tex]a=1[/tex], [tex]b=\frac{-\frac{a_{22}+a_{11}}{D^2}}{\frac{a_{22}a_{11}-a_{21}a_{12}}{D}}=-\frac{a_{22}+a_{11}}{a_{22}a_{11}-a_{21}a_{12}}=-\frac{a_{22}+a_{11}}{D}[/tex], [tex]c=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}=\frac{a_{22}a_{11}-a_{21}a_{12}}{D^2}[/tex].

[A.Boqrov]

страшна работа иначе бях почнал нещо като теб но бая по - малко съм го развил

[martin123456]

6
хомогенна система, чиято матрица е квадратна има ненулево решение [tex]\Leftrightarrow \det A =0[/tex].
пресмятаме детерминантата:
умножаваме 1ви ред с -2 и събираме с 2ри, после разменяме 1ви и 2и ред и детерминантата си сменя знак. като използваме формулата с адюнгираните количества по 1ви ред получаваме че [tex]\det A = -6(l-2)(l+1)[/tex]. значи [tex]l \in \{-1, 2\}[/tex].

[martin123456]

2
предполагам че става дума за 2x2 матрица
тя е с вид [tex]\left( {\begin{array}{cc} a & b \\ b & c \\ \end{array} } \right)[/tex].
характеристичният и полином е [tex](a-x)(c-x)-b^2=x^2-x(a+c)+ac-b^2[/tex]. Дискриминантата му е [tex]D=(a+c)^2-4ac+4b^2=(a-c)^2+4b^2 \ge 0 \Rightarrow[/tex] корените са в [tex]\mathbb{R}[/tex].