Линейни комбинации,помощ!

[EL_Ninhooo]

Здравейте, имам един сборник по линейна алгебра, по който се опитвам да е подготвям. В него има решения на повечето типове задачи, но на тези в които се използват линейни комбинации няма пояснения и срещам известни затруднения. Затова ще съм благодарен, ако някой ми обясни какъв алгоритъм да следвам при задачи като:

Пример 1)
Представя ли се векторът b=(6,-4,3,-9) като линейна комбинация на векторите а1=(1,-1,2,0), а2=(-1,3,-1,2), а3=(1,1,0,1), а4=(2,1,-1,-3) и по колко начина? Когато е възможно на направете това изразяване.

Пример 2)
При кой стойности на параметрите l и m векторът b се изразява като линейна комбинация на векторите:
а) а1=(1,1,-1)
а2=(0,-2,1)
а3=(1,m,1)
b=(0,-2,l)

б) а1=(2,4,4,2)
а2=(5,6,4,-3)
а3=(1,3,1,3)
а4=(2,5,7,l)
b=(2,4,4,7)

Предполагам,че задачите са с доста ниска трудност, затова се извинявам че ви губя времето. Също така и благодаря предварително на всички отзовали се.

Поздрави!

[ptj]

Един n-мерен вектор е вектор е линейно независим от n-1 други n-мерни вектора, тогава и само тогава, когато всички те са базис на съответното векторно пространство. Тогава ранга на тяхната матрица е точно n.

Ако n-вектора са базис на едно n-мерно векторно пространство, то за всеки вектор от него съществува единствена линейна комбинация, в която участват базисните вектори.

П.П. Може и с матрици да се решават. Посредством метод на Гаус или с детерминанти. Просто си написваш системата от уравнения за координатите.

П.ПП. Друг начин е със средствата на Аналитичната геометрия (n-мерно ортонормирано векторно пространство). Същия принцип като при уравнение на права или равнина, но сега ще е за нормалното уравнение на подпространство през няколко точки. От него ще знаеш вида на перпендикулярните му вектори.

[EL_Ninhooo]

Благодаря за бързия отговор. Аз се интересувам от начина за решения посредством матрици или детерминанти. Как точно трябва да изглежда системата и детерминантата?

Поздрави!

[ptj]

Пример 1)
Представя ли се векторът b=(6,-4,3,-9) като линейна комбинация на векторите а1=(1,-1,2,0), а2=(-1,3,-1,2), а3=(1,1,0,1), а4=(2,1,-1,-3) и по колко начина? Когато е възможно на направете това изразяване.

[tex]\vec b= m.\vec {a1} + n.\vec {a2} + p.\vec {a3} + q.\vec {a4}[/tex]

[tex]m\begin{pmatrix}
1 \\
-1\\
2\\
0
\end{pmatrix}
+n\begin{pmatrix}
1 \\
-1\\
2\\
0
\end{pmatrix}
+p\begin{pmatrix}
1 \\
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
+q\begin{pmatrix}
2 \\
1\\
-1\\
3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
6 \\
-4\\
3\\
-9
\end{pmatrix}[/tex]

[tex]\begin{cases}
m+n+p+2q=6\\
-m-n+p-q=-4\\
2m+2n-q=3\\
p+3q=-9
\end{cases}[/tex]

Нататък би трябвало да можеш и сам да се справиш.

П.П. Ако ще ползваш формулите на Крамер:
Детермината от четвърти ред може да смяташ, чрез развиването и по стълб или ред (минори и адюнгирани количества).
Другия начин е да я приведеш чрез елементарни преобразувания до детерминанта с елементи над (под) главния диагонал, равни на нула. Тогава стойността на детерминантата е равна на произведението от елементите по главния диагонал.

П.ПП. Ето ти малко теория за системи линейни уравнения:
http://web.uni-plovdiv.bg/marta/tema-12.pdf

[EL_Ninhooo]

Благодаря!