Уравнения с матрици

[Гост]

Дадени са две матрици:

А=|1 2| и В= |-1 3|
|1 4| |2 2|

Трябва да се решат уравненията:
АХ = ВХ и
АХ = ХВ

Матрицата Х може ли да бъде друга, освен нулева?

[Гост]

Всъщност второто уравнение го реших, резултатът е:
[6 2]
[-4 -7]

Първото уравнение продължава да е загадка!

[Гост]

Май само нулевата матрица става..

[ammornil]

Всички решения, които аз намерих, са нулеви. Не мога да видя от къде идва вашето ненулево решение...

[tex]A_{2\text{x}2}=\begin{Vmatrix}1 & 2 \\1 & 4 \end{Vmatrix}, \phantom{QQ} B_{2\text{x}2}=\begin{Vmatrix}-1 & 3 \\2 & 2 \end{Vmatrix}[/tex]

(a)[tex]X_{m\text{x}n}=? \phantom{Q} : A.X=B.X[/tex]
[tex]\exists A_{2\text{x}2}.X_{m\text{x}n}=C_{2\text{x}n} \Rightarrow m=2, n \in N[/tex]
[tex]\exists B_{2\text{x}2}.X_{m\text{x}n}=C_{2\text{x}n} \Rightarrow m=2, n \in N[/tex] [tex]\Rightarrow C_{2\text{x}n}, \phantom{QQQ} \Rightarrow X_{2\text{x}n}[/tex]
Решенията ще зависят от броя на колоните на неизвестната матрица... Задавайки брой колони, можем да определяме елементите на двете произведения ([tex]A.X, B.X[/tex]) и да съставяме система от равенства.

[tex]\fbox{n=1} \rightarrow X_{2\text{x}1}=\begin{Vmatrix}u \\ v\end{Vmatrix}[/tex]

[tex]A.X=\begin{Vmatrix}1u+2.v \\ 1.u+4.v \end{Vmatrix}, \phantom{QQQ} B.X=\begin{Vmatrix}-1.u+3.v \\ 2.u+2.v \end{Vmatrix}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 1u+2.v = -1.u+3.v \\ 1.u+4.v = 2.u+2.v \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} 2u=5v \\ u=2v \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} u=0 \\ v=0 \end{array} \Rightarrow X_{2\text{x}1}=\begin{Vmatrix}0 \\ 0\end{Vmatrix}[/tex]

[tex]\fbox{n=2} \rightarrow X_{2\text{x}2}=\begin{Vmatrix}u &v \\ w & z\end{Vmatrix}[/tex]

[tex]A.X=\begin{Vmatrix}1u+2.w & 1.v+2.z \\ 1.u+4.w & 1.v+4.z \end{Vmatrix}, \phantom{QQQ} B.X=\begin{Vmatrix}-1.u+3.w & -1.v+3.z \\ 2.u+2.w & 2.v+2.z \end{Vmatrix}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 1u+2.w = -1.u+3.w \\ 1.v+2.z = -1.v+3.z \\ 1.u+4.w = 2.u+2.w \\ 1.v+4.z = 2.v+2.z \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} u=\frac{5}{2}w \\ v=\frac{5}{2}z \\ u=2w \\ v=2z \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} u=0 \\ v=0 \\ w=0 \\ z=0 \end{array} \Rightarrow X_{2\text{x}2}=\begin{Vmatrix}0 &0 \\ 0 & 0\end{Vmatrix}[/tex]

[tex]\fbox{n=3} \rightarrow X_{2\text{x}3}=\begin{Vmatrix}u &v & p \\ w & z & q \end{Vmatrix}[/tex], и т.н.

(б)[tex]X_{m\text{x}n}=? \phantom{Q} : A.X=X.B[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \exists A_{2\text{x}2}.X_{m\text{x}n}=C_{2\text{x}n} \Rightarrow m=2, n \in N \\ \exists X_{m\text{x}n}.B_{2\text{x}2}=C_{m\text{x}2} \Rightarrow n=2, m \in N \end{array} \Rightarrow C_{2\text{x}n} \equiv C_{m\text{x}2} \Rightarrow C_{2\text{x}2} \Rightarrow X_{2\text{x}2} \rightarrow[/tex] [tex]X_{2\text{x}2}=\begin{Vmatrix}u &v\\w& z \end{Vmatrix}[/tex]

[tex]A.X=\begin{Vmatrix} 1.u+2.w & 1.v+2.z \\1.u+4.w & 1.v+4.z \end{Vmatrix}, \phantom{QQQ} X.B=\begin{Vmatrix} u.(-1)+v.2& u.3+v.2 \\ w.(-1)+z.2 & w.3+z.2\end{Vmatrix}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} u+2w=-u+2v \\ v+2z=3u+2v \\ u+4w=-w+2z \\ v+z=3w+2z \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} u = v-w \\ z = 3u +2v= 3v-3w+2v=5v-3w \\ 3w = 2z-u = 2(5v-3w)-(v-w) \\ v+z=3w+2z \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} u = v-w \\ z =5v-3w \\ 3w = 10v-6w-v+w \\ v+z=3w+2z \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} u =v-w= -\frac{1}{9}w \\ z = 2v-w = \frac{7}{9}w \\ v=\frac{8}{9}w \\ -\frac{1}{9}w+ \frac{7}{9}w = 3w+2. \frac{7}{9}w \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} u = -\frac{1}{9}w \\ z = \frac{7}{9}w \\ v=\frac{8}{9}w \\ \frac{2}{3}w=\frac{41}{9}w \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} u =0 \\ z = 0 \\ v=0 \\ w=0 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow X_{2\text{x}2}=\begin{Vmatrix}0 &0\\0& 0 \end{Vmatrix}[/tex]