Помощ с 2 задачи по линейна алгебра

[kilikandzer]

Здравейте , много ви моля да ми помогнете с решението на няколко задачки по линейна алгебра . Опитах се да се справя сама , но неуспешно . Ще съм ви много благодарна , ако ми покажете как мога да реша задачите .

зад 1 . В базиса е1 , е2 на двумерното линейно пространство V да се напише матрицата А на линейният оператор \varphi , действащ по правилото :
а ) \varphi (е1) = е1 + е2 , \varphi (е2) = е1 .
б ) \varphi ( е1 + е2 ) = е2 + 5е2 , \varphi (е1 - е2 ) = 3е1 + е2 .

зад 2. В тримерното евклидово пространство R^_3 са дадени векторите а_{1 } = \left( \frac{\sqrt{2}{2} , \frac\sqrt{2}{2} , 0 \right( a_{2 } = \left( \frac{\sqrt{2}{2} , -\frac{\sqrt{2}{2} , 0 \right( a_{3} = ( 0 , 0 , 1 ) . Да се намерят стойностите на реалните параметри \lambda_{1} , \lambda_{2) , ... , \lambda _ {7} , за които векторите b_{1}, b_{2}, b_{3} образуват орторномиран базис на R^_3 , където
b_{1} = \lambda_{1}a_{1} + \lambda_{2}a_{2} + \lambda _{3}a_{3} ,
b_{2} = \lambda_{4}a_{1} + a_{2} + \lambda_{5}a_{3} ,
b_{3} = \lambda_{6}a_{1} + \lambda_{7}a_{2} + a_{3} .

[martin123456]

1
нека матрицата е със страндартни означения на двумерна матрица
по дефиниция
[tex]\varphi(e_1)=a_{11}e_1+a_{21}e_2[/tex]
[tex]\varphi(e_2)=a_{12}e_1+a_{22}e_2[/tex]
a)
[tex]a_{11}e_1+a_{21}e_2=e_1+e_2[/tex]<=>[tex]a_{11}=1[/tex] и [tex]a_{21}=1[/tex]
[tex]a_{12}e_1+a_{22}e_2=e_1[/tex]<=>[tex]a_{12}=1[/tex] и [tex]a_22=0[/tex]
b)
[tex]\varphi(e_1+e_2)=\varphi(e_1)+\varphi(e_2)=e_1(a_{11}+a_{12})+e_2(a_{21}+a_{22})=e_1+5e_2[/tex]<=>[tex]a_{11}+a_{12}=1[/tex], [tex]a_{21}+a_{22}=5[/tex]
[tex]\varphi(e_1-e_2)=e_1(a_{11}-a_{12})+e_2(a_{21}-a_{22})=3e_1+e_2[/tex]<=>[tex]a_{11}-a_{12}=3[/tex] и [tex]a_{21}-a_{22}=1[/tex].
значи [tex]a_{11}=2[/tex],[tex]a_{12}=-1[/tex], [tex]a_{21}=3[/tex],[tex]a_{22}=2[/tex]

[martin123456]

зад 2. В тримерното евклидово пространство [tex]R^3[/tex] са дадени векторите [tex]a_1= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\sqrt{2}}{2} , 0 \right) a_{2 } = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} , -\frac{\sqrt{2}}{2} , 0 \right) a_{3} = ( 0 , 0 , 1 )[/tex] . Да се намерят стойностите на реалните параметри [tex]\lambda_{1} , \lambda_{2} , ... , \lambda _ {7}[/tex] , за които векторите [tex]b_{1}, b_{2}, b_{3}[/tex] образуват орторномиран базис на [tex]R^3[/tex] , където [tex]b_{1} = \lambda_{1}a_{1} + \lambda_{2}a_{2} + \lambda _{3}a_{3} ,
b_{2} = \lambda_{4}a_{1} + a_{2} + \lambda_{5}a_{3} ,
b_{3} = \lambda_{6}a_{1} + \lambda_{7}a_{2} + a_{3}[/tex].

[kilikandzer]

Мерси страшно много за решението на задачката .