две задачки по висша алгебра

[ydrax]

Здравейте!
Ще се радвам много ако някой може да ми помогне със следните две задачки:

Задача 1: Намерете факторгрупата U/Cn,
U = { z [tex]\in[/tex] C, |z|=1 } , Cn = { z [tex]\in[/tex] C : [tex]z^{n }[/tex]=1 }

(C представлява множеството на комплексните числа)

Задача 2: Нека K е поле и ?, ? [tex]\in[/tex] K, ? [tex]\ne[/tex] ?
В К дефинираме нови операции (+) и (.) по правилата:

a (+) b = a + b - ? , (за всяко a,b)
a (.) b = ? + (a - ?)(b - ?)/(? - ?) , (за всяко a,b)
Докажете, че K е поле относно (+) и (.).

Забележка: (+) и (.) представляват знаците за събиране и умножение оградени в кръгче, просто не знаех как да ги направя по друг начин.

Ако е възможно и разяснения ще съм много благодарен

[allier]

Аз мога да ти помогна сам да си ги решиш. Напиши каква е дефиницията на фактор-група като за начало.

[ydrax]

Ами, ако (G,.) е група и N [tex]\le[/tex] G, то (G/N,.) е група и групата G/N се нарича факторгрупа на групата G по нормалната група N, нали така?

[nikko]

По-скоро използвай теоремата за хомоморфизмите и задай инективен хомоморфизъм [tex]\varphi:\;U\to X[/tex] (трябва да се сетиш кое е X (това е и решението на задачата)), за който ядроро [tex]\text{Ker}\;\varphi=\mathbb{C}_n[/tex].
По теоремата за хомоморфизите имаш, че [tex]U\setminus\text{Ker}\;\varphi=U\setminus \mathbb{C}_n\simeq X[/tex].

[allier]

Това което си написал е вярно, но как се дефинира G/N, т.е. кои са елементите на тази група?

[ydrax]

[tex]G/H =[/tex]{[tex]gH : g \in G[/tex]} така ли?

nikko, ще се пробвам да я реша както казваш и ако не успея да се справя ще пиша пак.

[allier]

Ти си си решил задачата само с дефиницията - забележи, че като умножиш две комплексни числа с модул едно, пак получаваш комплексно число с модул едно. Същото е и при деление. Така че произведението [tex]z.Un, z\in U[/tex] е самото U. Геометрично това изглежда така, като вземеш правилен n-ъгълник вписан в окръжност и го завъртиш на всички възможни градуси, ще получиш цялата окръжност.

[ydrax]

Благодаря ви за помощта, мисля, че я разбрах първата задача. Дали ще може малко помощ и по втората задача - от къде да тръгна и какво трябва да се направи? Пак ли трябва да се хвана за дефиницията? Или може би някое от свойствата на полето би ми помогнало?

[allier]

Напиши едно решение на първата, да видим какво си разбрал. По втората, кои са свойствата, които едно поло трябва да притежава?

[ydrax]

Ами то вече май е малко късничко да ги разучавам тези задачки, защото ми мина изпита, а пък въобще не ги разбирам иначе, прекалено са ми абстрактни нещата и не мога да си ги представя. В интернет бях търсил решени задачи, но не успях да намеря и имам чувството, че няма много материали по темата. Последно обаче като разговарях с преподавателя ми каза, че групите, пръстените и полиномите намирали приложение в кодирането на gsm-ите и ми стана интересно. Затова ми се иска да ги науча тези неща, със сигурност някога могат да ми потрябват тези знания, но сега не мога да отделя много време и затова може би ще се наема някой друг път да ги уча. Иначе по конкретните задачи за първата съм забравил да напиша в условието й, че: [tex]n \in N, n>2[/tex].
До колкото изхождам от дефиницията за факторгрупа, излиза, че [tex]U/Cn =[/tex] {[tex]z.Cn:z \in U[/tex]}[tex]=[/tex]{[tex]|z|.z^{3}, |z|.z^{4}, |z|.z^{5}, ...[/tex]} , но не знам от тук как точно да продължа. Дали трябва да наммеря някакви конкретни стойности за a и b от това, че [tex]|z|=1 => a^{2}+b^{2}=1[/tex], както и за [tex]z^{n}=1[/tex] и да ги умножа или...?

А по втората задача, полетата притежават следните свойства:

-за събиране:
(1) (a + b) + c = a + (b + c) - асоциативност на събирането
(2) а + b = b + a - комутативност на събирането
(3) съществува нулев елемент 0 такъв, че а + 0 = а
(4) съществува противоположен елемент –а такъв, че а + (-а) = 0

-за умножение
(5) (а.b).c = a.(b.c) - асоциативност на умножението
(6) а.b = b.a - комутативност на събирането
(7) съществува единичен елемент е такъв, че е.а = а.е = а
(8) съществува обратен елемент [tex]a^{-1}[/tex] такъв, че [tex]a^{-1}.a = a.a^{-1} = e[/tex]

-и дистрибутивните свойства
(9) (а + b).c = aс + bc - дясна дистрибутивност на умножението
(10) с.(b + c) = сa + cb - лява дистрибутивност на умножението

Сега трябва да докажа, че К притежава всички тези свойства при дефинираните нови операции ли?