матрици - детерминанти, ранг

[martin123456]

Пратиха ми на лично съобщение да реша едни задачи. Не знам дали ще имам време, затова правя тема, който иска да помогне, а аз ще препратя линка на човека да следи за решения. Задачите трябвали до понеделник.

[martin123456]

1
1.1. Поддетерминанта на [tex]a_{1,2}[/tex]: т.е. детерминантата на
[tex]A=\left( \begin{array}{ccc}4 & 2 & 4 \\1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 5 \end{array} \right)[/tex]. Добавяме 3ти ред, умножен с [tex]-1[/tex] към 1ви. Детерминантата не се променя, т.е.
[tex]\left[ \begin{array}{ccc}4 & 2 & 4 \\1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 5 \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 5 \end{array} \right][/tex]. Сега като използваме, че [tex]\det{A}=\sum_{k=1}^{n}a_{1k}A_{1k}=\sum_{k=1}^{3}a_{1k}A_{1k}[/tex], то получаваме [tex]\det{A}=a_{1,1}A_{1,1}+a_{1,2}A_{1,2}+a_{1,3}A_{1,3}=0+0+a_{1,3}A_{1,3}=a_{1,3}A_{1,3}=-A_{1,3}[/tex]. Сега [tex]A_{1,3}=(-1)^{1+3}\left[ \begin{array}{ccc}1 & 1\\4 & 2\end{array} \right]=1.2-4.1=-2 \Rightarrow \det{A}=2[/tex].
1.2. Адюнгирано количество на [tex]a_{1,2}[/tex]: [tex]A_{1,2}=(-1)^{1+2}\det{A}-=2[/tex].
остава да намериш поддетерминната и ад кол на другия елемент в условието
a) да се преместне детерминанта като развием по елементите на 1ви ред:
[tex]\det{D}=3(-1)^{1+1}\left[ \begin{array}{ccc}-1 & 2 & 4 \\-1 & 1 & 1 \\-1 & 2 & 5 \end{array} \right]+1(-1)^{1+2}\left[ \begin{array}{ccc}4 & 2 & 4 \\1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 5 \end{array} \right]+2(-1)^{1+3}\left[ \begin{array}{ccc}4 & 2 & 4 \\1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 5 \end{array} \right]+3(-1)^{1+4}\left[ \begin{array}{ccc}4 & -1 & 2 \\1 & -1 & 1 \\4 & -1 & 2 \end{array} \right][/tex]. Умножаваме 3ти ред с -3 и събираме към 1ви:
тук пресметни детерминантите
б) е аналогична на а)