детерминанти

[Гост]

Свойство на детерминантите е твърдението:
а) Ако в една детерминанта прибавим към даден ред друг ред, умножен с ненулево число, то стойността на детерминантата се умножава с това число;
б) Ако елементите на даден ред са суми на две събираеми, то детерминантата е сума на две детерминанти, като на съответния ред в първата детерминанта са първите събираеми, във втората – вторите събираеми, а останалите редове се запазват;
в) Ако редовете на детерминантата са линейно независими, то тя е нула.

[Гост]

Относно а) - стойността на детерминантата не се умножава по числото, а се запазва същата, независимо дали числото е 0, 1 или кое да е реално число.
Относно в) - ако два или повече от редовете са зависими, детерминантата е нула. Това е така, понеже в този случай можем да използваме а) и да направим ред изцяло съдържащ нули. Ако, напротив, никои два реда не са зависими, детерминантата може да не е нула.

Остава б) - Ако намерим стойността на детерминантата, развивайки по съответния ред, виждаме, че е сума на две детерминанти със съответни редове, съдържащи първите, респ. вторите събираеми.

Следователно б) е вярно свойство.

[ammornil]

Както е казал колегата по-горе, ако всички елементи без тези на един даден ред за две детерминанти са еднакви, то адюнгираните количества определени по елементите на различния ред ще са подобни (ще имат еднакви минори) за двете детерминанти. Пример с детерминанти от трети ред:[tex]\\[24pt]D_{A}=\begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3} \\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} \\ c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3} \end{vmatrix}=(-1)^{2+1}\cdot{}a_{2,1}\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,2}&c_{1,3} \\c_{3,2}&c_{3,3} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot{}a_{2,2}\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,3} \\c_{3,1}&c_{3,3} \end{vmatrix} +(-1)^{2+3}\cdot{}a_{2,3}\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,2} \\c_{3,1}&c_{3,2} \end{vmatrix}\\[12pt] D_{B}=\begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3} \\ b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3} \\ c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3} \end{vmatrix}=(-1)^{2+1}\cdot{}b_{2,1}\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,2}&c_{1,3} \\c_{3,2}&c_{3,3} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot{}b_{2,2}\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,3} \\c_{3,1}&c_{3,3} \end{vmatrix} +(-1)^{2+3}\cdot{}b_{2,3}\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,2} \\c_{3,1}&c_{3,2} \end{vmatrix} \\[12pt] D_{M} = \begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3} \\ a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&a_{2,3}+b_{2,3} \\ c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3} \end{vmatrix}=(-1)^{2+1}\cdot{}(a_{2,1}+b_{2,1})\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,2}&c_{1,3} \\c_{3,2}&c_{3,3} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot{}(a_{2,2}+b_{2,2})\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,3} \\c_{3,1}&c_{3,3} \end{vmatrix} +(-1)^{2+3}\cdot{}(a_{2,3}+b_{2,3})\cdot{}\begin{vmatrix} c_{1,1}&c_{1,2} \\c_{3,1}&c_{3,2} \end{vmatrix}= D_{A}+D_{B}[/tex]